Em cada um dos itens a seguir, determine:
(d) De quantas maneiras distintas podemos preencher uma prateleira com n livros diferentes, cada um com k exemplares idênticos;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir de quantas maneiras diferentes podemos arrumar uma prateleira com n livros distintos, onde cada livro tem k exemplares iguais. Vamos usar conceitos de fatoriais e arranjos com itens repetidos pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar quantos livros temos no total. Se são n livros diferentes e cada um tem k cópias iguais, então o total de livros é n times k.

Passo 3

Agora, se todos os livros fossem diferentes, a quantidade de arranjos seria (n times k)!, porque cada posição na prateleira poderia ter qualquer um dos livros.

Passo 4

Mas, como temos k cópias iguais para cada um dos n livros, algumas dessas arrumações acabam sendo iguais. Para corrigir isso, a gente divide pelo número de arranjos que são repetidos. Como temos k cópias iguais para cada livro, precisamos dividir por k! para cada um dos n livros.

Passo 5

Então, a fórmula final para a quantidade de maneiras distintas de arrumar os livros na prateleira é:
(n times k)!(k!)^n

Resposta

O número de maneiras distintas de preencher a prateleira é dfrac(n times k)!(k!)^n.

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