Em cada um dos itens a seguir, determine:
(d) De quantas maneiras distintas podemos preencher uma prateleira com
livros diferentes, cada um com
exemplares idênticos;
(d) De quantas maneiras distintas podemos preencher uma prateleira com
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir de quantas maneiras diferentes podemos arrumar uma prateleira com
livros distintos, onde cada livro tem
exemplares iguais. Vamos usar conceitos de fatoriais e arranjos com itens repetidos pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar quantos livros temos no total. Se são
livros diferentes e cada um tem
cópias iguais, então o total de livros é
.
Passo 3
Agora, se todos os livros fossem diferentes, a quantidade de arranjos seria
, porque cada posição na prateleira poderia ter qualquer um dos livros.
Passo 4
Mas, como temos
cópias iguais para cada um dos
livros, algumas dessas arrumações acabam sendo iguais. Para corrigir isso, a gente divide pelo número de arranjos que são repetidos. Como temos
cópias iguais para cada livro, precisamos dividir por
para cada um dos
livros.
Passo 5
Então, a fórmula final para a quantidade de maneiras distintas de arrumar os livros na prateleira é:
Resposta
O número de maneiras distintas de preencher a prateleira é
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens a seguir, determine:
© O número de apostas distintas de 6 e de 7 números na loteria Mega-Sena;
© O número de apostas distintas de 6 e de 7 números na loteria Mega-Sena;
Mostre que se
para todo
, então
. Essa é uma fórmula de inversão envolvendo coeficientes binomiais. Dica: substitua a expressão para
na expressão para
(tomando cuidado para não se atrapalhar com os índices) e efetue a soma dos produtos obtidos com auxílio do resultado do exercício II.9.
Considerando que um modelo de regressão linear simples seja apropriado, ajuste o modelo de regressão relacionando o consumo de vapor
com a temperatura média
. Qual é aestimativa
? (Resposta:
)
Preveja a resistência à tração quando
e
. (Resposta:
)