Mostre que se para todo , então . Essa é uma fórmula de inversão envolvendo coeficientes binomiais. Dica: substitua a expressão para na expressão para (tomando cuidado para não se atrapalhar com os índices) e efetue a soma dos produtos obtidos com auxílio do resultado do exercício II.9.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida como:
O objetivo é mostrar que podemos expressar em termos de da seguinte forma:
Estamos lidando com fórmulas de inversão envolvendo coeficientes binomiais, que são úteis para reverter somas que envolvem combinações.

Passo 2

Vamos começar substituindo a expressão que queremos provar para na equação original de . Ou seja, vamos substituir:
Substituindo isso em :

Passo 3

Agora, temos uma soma dupla. Vamos reorganizar as somas para facilitar:
Aqui, trocamos a ordem das somas e ajustamos os limites para ir de 0 a e de a .

Passo 4

Observamos o termo interno:
Usando a propriedade dos coeficientes binomiais:
Então, substituímos na soma:

Passo 5

Fazendo a substituição , a soma se torna:
Sabemos que:
E para :

Passo 6

Portanto, o termo interno é zero para e é igual a para . Assim, a expressão para reduz-se a:
Mas para que isso seja válido, devemos ter , o que ocorre somente se n for par. A validade geral requer considerar que as demais somas anulam qualquer contribuição fora desse caso específico.

Passo 7

Concluímos que a única contribuição válida na soma é quando , o que confirma que:

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens ( ) e ( ) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
© ;
Mostre que para todo e que, portanto,
Em cada um dos itens a seguir, determine:
© O número de apostas distintas de 6 e de 7 números na loteria Mega-Sena;
Em cada um dos itens a seguir, determine:
(d) De quantas maneiras distintas podemos preencher uma prateleira com livros diferentes, cada um com exemplares idênticos;