Mostre que se
para todo
, então
. Essa é uma fórmula de inversão envolvendo coeficientes binomiais. Dica: substitua a expressão para
na expressão para
(tomando cuidado para não se atrapalhar com os índices) e efetue a soma dos produtos obtidos com auxílio do resultado do exercício II.9.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência
definida como:
O objetivo é mostrar que podemos expressar
em termos de
da seguinte forma:
Estamos lidando com fórmulas de inversão envolvendo coeficientes binomiais, que são úteis para reverter somas que envolvem combinações.
Passo 2
Vamos começar substituindo a expressão que queremos provar para
na equação original de
. Ou seja, vamos substituir:
Substituindo isso em
:
Passo 3
Agora, temos uma soma dupla. Vamos reorganizar as somas para facilitar:
Aqui, trocamos a ordem das somas e ajustamos os limites para
ir de 0 a
e
de
a
.
Passo 4
Observamos o termo interno:
Usando a propriedade dos coeficientes binomiais:
Então, substituímos na soma:
Passo 5
Fazendo a substituição
, a soma se torna:
Sabemos que:
E para
:
Passo 6
Portanto, o termo interno é zero para
e é igual a
para
. Assim, a expressão para
reduz-se a:
Mas para que isso seja válido, devemos ter
, o que ocorre somente se n for par. A validade geral requer considerar que as demais somas anulam qualquer contribuição fora desse caso específico.
Passo 7
Concluímos que a única contribuição válida na soma é quando
, o que confirma que:
Resposta
Portanto, mostramos que: