Mostre que se an=sumk=0^nbinomnk bk para todo n >= 0, então bn=sumk=0^n(-1)^n+kbinomnk ak. Essa é uma fórmula de inversão envolvendo coeficientes binomiais. Dica: substitua a expressão para bk na expressão para an (tomando cuidado para não se atrapalhar com os índices) e efetue a soma dos produtos obtidos com auxílio do resultado do exercício II.9.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência an = sumk=0^n binomnk bk definida como:
bn = sumk=0^n (-1)^n+k binomnk ak
O objetivo é mostrar que podemos expressar em termos de da seguinte forma:
Estamos lidando com fórmulas de inversão envolvendo coeficientes binomiais, que são úteis para reverter somas que envolvem combinações.

Passo 2

Vamos começar substituindo a expressão que queremos provar para bk = summ=0^k (-1)^k+m binomkm am na equação original de an = sumk=0^n binomnk ( summ=0^k (-1)^k+m binomkm am ) . Ou seja, vamos substituir:
Substituindo isso em :

Passo 3

Agora, temos uma soma dupla. Vamos reorganizar as somas para facilitar:
an = summ=0^n am ( sumk=m^n binomnk (-1)^k+m binomkm )
Aqui, trocamos a ordem das somas e ajustamos os limites para ir de 0 a e de a .

Passo 4

Observamos o termo interno:
sumk=m^n binomnk binomkm (-1)^k+m
Usando a propriedade dos coeficientes binomiais:
binomnk binomkm = binomnm binomn-mk-m
Então, substituímos na soma:
sumk=m^n binomnm binomn-mk-m (-1)^k+m = binomnm (-1)^m sumk=m^n binomn-mk-m (-1)^k

Passo 5

Fazendo a substituição sumj=0^n-m binomn-mj (-1)^j+m = (-1)^m sumj=0^n-m binomn-mj (-1)^j , a soma se torna:
sumj=0^n-m binomn-mj (-1)^j = (1 - 1)^n-m = 0 para n - m >= 1
Sabemos que:
sumj=0^0 binom00 (-1)^0 = 1
E para :

Passo 6

Portanto, o termo interno é zero para an = an cdot binomnn (-1)^n = an cdot 1 cdot (-1)^n e é igual a para . Assim, a expressão para reduz-se a:
Mas para que isso seja válido, devemos ter , o que ocorre somente se n for par. A validade geral requer considerar que as demais somas anulam qualquer contribuição fora desse caso específico.

Passo 7

Concluímos que a única contribuição válida na soma é quando bn = sumk=0^n (-1)^n+k binomnk ak , o que confirma que:

Resposta

Portanto, mostramos que:
bn = sumk=0^n (-1)^n+k binomnk ak

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