Cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6 cm/s. A que taxa a área do quadrado está aumentando quando a área do quadrado for 16 cm²? Um tanque cilíndrico com raio 5 m está sendo enchido com água a uma taxa de 3 m³/min. Qual rápido a altura está aumentando?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! Ele tem duas partes:
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Primeira parte: Estamos lidando com um quadrado cujo lado está aumentando a uma taxa de 6 cm/s. Queremos descobrir a que velocidade a área desse quadrado está aumentando quando a área for 16 cm².
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Segunda parte: Temos um tanque cilíndrico com raio de 5 metros sendo enchido com água a uma taxa de 3 m³/min. Precisamos encontrar quão rápido a altura da água está aumentando.
Vamos precisar de alguns conceitos de cálculo, especialmente derivadas relacionadas a taxas de variação. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Primeira Parte: Quadrado aumentando de área
Entendendo o problema: Sabemos que o lado $ l $ do quadrado está aumentando a $ \frac{dl}{dt} = 6 $ cm/s. Queremos encontrar $ \frac{dA}{dt} $ quando a área $ A = 16 $ cm².
Relação entre A e l: A área de um quadrado é dada por $ A = l^2 $.
Derivando em relação ao tempo: Para encontrar como A está mudando com o tempo, derivamos ambos os lados da equação em relação a $ t $:
Agora, precisamos encontrar o valor de $ l $ quando $ A = 16 $ cm².
$ 16 = l^2 $ então $ l = \sqrt{16} = 4 $ cm.
Agora podemos substituir os valores na equação derivada:
Passo 3
Resposta da Primeira Parte:
Quando a área do quadrado for 16 cm², a área está aumentando a uma taxa de 48 cm²/s.
Passo 4
Segunda Parte: Tanque Cilíndrico sendo enchido
Entendendo o problema: Temos um tanque cilíndrico com raio $ r = 5 $ m sendo enchido a uma taxa de $ \frac{dV}{dt} = 3 $ m³/min. Queremos encontrar a taxa de variação da altura, $ \frac{dh}{dt} $.
Relação entre V e h: O volume de um cilindro é dado por $ V = \pi r^2 h $.
Derivando em relação ao tempo: Para encontrar como a altura está mudando com o tempo, derivamos ambos os lados da equação em relação a $ t $:
Queremos resolver para $ \frac{dh}{dt} $:
Passo 5
Resposta da Segunda Parte:
A altura da água no tanque está aumentando a uma taxa de $ \frac{3}{25\pi} $ metros por minuto.
Resposta
- Quando a área do quadrado for 16 cm², a área está aumentando a uma taxa de 48 cm²/s.
- A altura da água no tanque está aumentando a uma taxa de $ \frac{3}{25\pi} $ metros por minuto.