Sabendo que o plano mediador de um segmento de reta é um plano perpendicular a este segmento pelo seu ponto médio. determine uma equação geral do plano mediador do segmento AB, sendo A(4,-1,-2) e B(2,7,0)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre geometria no espaço! A gente precisa encontrar a equação geral do plano mediador do segmento de reta AB, onde os pontos A têm coordenadas (4, -1, -2) e B têm coordenadas (2, 7, 0).
O que vamos precisar:
- Ponto Médio: Para achar o plano mediador, primeiro precisamos descobrir o ponto médio do segmento AB.
- Vetor Direção de AB: Precisamos também achar um vetor que representa a direção do segmento AB.
- Normal ao Plano: O plano mediador é perpendicular ao segmento AB, então esse vetor direção será o vetor normal ao plano.
Passo 2
Encontrando o Ponto Médio (M) de AB:
O ponto médio é simplesmente a média das coordenadas dos pontos A e B.
Então, o ponto médio M é (3, 3, -1).
Passo 3
Encontrando o Vetor Direção de AB:
O vetor direção de AB é calculado subtraindo as coordenadas de A das de B.
Então, o vetor direção é
.
Passo 4
Definindo o Normal ao Plano:
Como o plano mediador é perpendicular ao segmento AB, o vetor
será o vetor normal
do plano.
Passo 5
Montando a Equação Geral do Plano:
A equação geral de um plano é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Simplificando a Equação:
Vamos distribuir os termos:
Agora, vamos somar os termos constantes:
Para deixar a equação mais limpa, podemos multiplicar todos os termos por -1:
Resposta
A equação geral do plano mediador do segmento AB é: