Sabendo que o plano mediador de um segmento de reta é um plano perpendicular a este segmento pelo seu ponto médio. determine uma equação geral do plano mediador do segmento AB, sendo A(4,-1,-2) e B(2,7,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre geometria no espaço! A gente precisa encontrar a equação geral do plano mediador do segmento de reta AB, onde os pontos A têm coordenadas (4, -1, -2) e B têm coordenadas (2, 7, 0).
O que vamos precisar:
  1. Ponto Médio: Para achar o plano mediador, primeiro precisamos descobrir o ponto médio do segmento AB.
  2. Vetor Direção de AB: Precisamos também achar um vetor que representa a direção do segmento AB.
  3. Normal ao Plano: O plano mediador é perpendicular ao segmento AB, então esse vetor direção será o vetor normal ao plano.

Passo 2

Encontrando o Ponto Médio (M) de AB:
O ponto médio é simplesmente a média das coordenadas dos pontos A e B.
Mx = Ax + Bx2 = 4 + 22 = 3
My = Ay + By2 = -1 + 72 = 3
Mz = Az + Bz2 = -2 + 02 = -1
Então, o ponto médio M é (3, 3, -1).

Passo 3

Encontrando o Vetor Direção de AB:
O vetor direção de AB é calculado subtraindo as coordenadas de A das de B.
AB = (Bx - Ax, By - Ay, Bz - Az) = (2 - 4, 7 - (-1), 0 - (-2)) = (-2, 8, 2)
Então, o vetor direção é AB = (-2, 8, 2).

Passo 4

Definindo o Normal ao Plano:
Como o plano mediador é perpendicular ao segmento AB, o vetor AB será o vetor normal n do plano.
n = (-2, 8, 2)

Passo 5

Montando a Equação Geral do Plano:
A equação geral de um plano é:
nx(x - Mx) + ny(y - My) + nz(z - Mz) = 0
Substituindo os valores que temos:
-2(x - 3) + 8(y - 3) + 2(z + 1) = 0

Passo 6

Simplificando a Equação:
Vamos distribuir os termos:
-2x + 6 + 8y - 24 + 2z + 2 = 0
Agora, vamos somar os termos constantes:
-2x + 8y + 2z - 16 = 0
Para deixar a equação mais limpa, podemos multiplicar todos os termos por -1:
2x - 8y - 2z + 16 = 0

Resposta

A equação geral do plano mediador do segmento AB é:
2x - 8y - 2z + 16 = 0

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