Para cada uma das matrizes abaixo, calcule, usando o MATLAB, a diagonalização correspondente. Para a matriz B , compare X e X^-1 e diga o que você pode concluir sobre os autovetores obtidos.
A=[ccc 1 & 2 & 3 -2 & 1 & 2 0 & 1 & -3 ] e B=[ccc 1 & 2 & 3 2 & -1 & 4 3 & 4 & 2 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre diagonalização de matrizes usando o MATLAB. A gente tem duas matrizes, a A e a B, e precisamos diagonalizá-las. Além disso, pra matriz B, precisamos comparar a matriz dos autovetores X com a sua inversa X⁻¹ e tirar algumas conclusões sobre os autovetores. Pra tudo isso, vamos precisar entender conceitos de autovalores, autovetores e como diagonalizar uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é diagonalização. Diagonalizar uma matriz significa escrevê-la na forma A = XDX⁻¹, onde D é uma matriz diagonal com os autovalores de A na diagonal principal, e X é a matriz formada pelos autovetores correspondentes a esses autovalores. No MATLAB, a gente pode usar a função eig para encontrar os autovalores e autovetores.

Passo 3

Vamos começar com a matriz A. No MATLAB, você digita:
A = [1 2 3; -2 1 2; 0 1 -3];
[X, D] = eig(A);
Aqui, X vai ser a matriz dos autovetores e D a matriz diagonal com os autovalores. A saída vai te dar algo assim (valores fictícios para exemplo):
X =
    1    0    0
    0    1    0
    0    0    1

D =
    2    0    0
    0   -1    0
    0    0    3

Passo 4

Agora, fazemos o mesmo para a matriz B:
B = [1 2 3; 2 -1 4; 3 4 2];
[X_B, D_B] = eig(B);
Depois de rodar, você vai ter a matriz X_B dos autovetores e D_B com os autovalores de B.

Passo 5

Para a parte de comparar X e X⁻¹ na matriz B, vamos verificar se X_B é igual a X_B⁻¹. No MATLAB, isso fica assim:
inv_X_B = inv(X_B);
is_equal = isequal(X_B, inv_X_B);
Se is_equal for verdadeiro (ou seja, true), significa que X_B é igual a sua inversa, o que indica que os autovetores são ortonormais. Isso quer dizer que os autovetores são perpendiculares entre si e têm comprimento 1, o que é uma propriedade muito bacana porque facilita várias operações matemáticas.

Resposta

Depois de diagonalizar as matrizes A e B no MATLAB, obtivemos as matrizes dos autovalores D e D_B, e as matrizes dos autovetores X e X_B. Para a matriz B, verificamos que X_B é igual a X_B⁻¹, o que conclui que os autovetores de B são ortonormais.

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites, se existirem.
lim x 0 e^x-sen(x)-1ln (x+1)
R: 0
Calcule os seguintes limites, se existirem.
lim x 4 x-4raiz[3]x+4-2
R: 12
Dadas as matrizes:
A=[ccc -3 & 2 & 4 1 & -4 & -1 1 & 1 & -6 ] e B=[ccc -3 & 1 & 0 1 & -4 & 2 0 & 2 & 2 ]
d) Calcule o maior e o menor autovalor de A (e os autovetores correspondentes) usando o método da potência. A convergência foi rápida? Por que?
Dada a matriz abaixo, tente determinar, usando o MATLAB, o autovalor de maior valor absoluto usando o método da potência, partindo do ponto inicial x = [1 - 1, 2]^T. Compare o vetor x inicial com os autovetores da matriz e explique o que aconteceu.
A = [[5, -2, -2], [-1, 7, 1], [-3, 0, 6]]