Para cada uma das matrizes abaixo, calcule, usando o MATLAB, a diagonalização correspondente. Para a matriz B , compare
e
e diga o que você pode concluir sobre os autovetores obtidos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre diagonalização de matrizes usando o MATLAB. A gente tem duas matrizes, a A e a B, e precisamos diagonalizá-las. Além disso, pra matriz B, precisamos comparar a matriz dos autovetores X com a sua inversa X⁻¹ e tirar algumas conclusões sobre os autovetores. Pra tudo isso, vamos precisar entender conceitos de autovalores, autovetores e como diagonalizar uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é diagonalização. Diagonalizar uma matriz significa escrevê-la na forma A = XDX⁻¹, onde D é uma matriz diagonal com os autovalores de A na diagonal principal, e X é a matriz formada pelos autovetores correspondentes a esses autovalores. No MATLAB, a gente pode usar a função
eig
para encontrar os autovalores e autovetores.Passo 3
Vamos começar com a matriz A. No MATLAB, você digita:
A = [1 2 3; -2 1 2; 0 1 -3];
[X, D] = eig(A);
Aqui, X vai ser a matriz dos autovetores e D a matriz diagonal com os autovalores. A saída vai te dar algo assim (valores fictícios para exemplo):
X =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
D =
2 0 0
0 -1 0
0 0 3
Passo 4
Agora, fazemos o mesmo para a matriz B:
B = [1 2 3; 2 -1 4; 3 4 2];
[X_B, D_B] = eig(B);
Depois de rodar, você vai ter a matriz X_B dos autovetores e D_B com os autovalores de B.
Passo 5
Para a parte de comparar X e X⁻¹ na matriz B, vamos verificar se X_B é igual a X_B⁻¹. No MATLAB, isso fica assim:
inv_X_B = inv(X_B);
is_equal = isequal(X_B, inv_X_B);
Se is_equal for verdadeiro (ou seja,
true
), significa que X_B é igual a sua inversa, o que indica que os autovetores são ortonormais. Isso quer dizer que os autovetores são perpendiculares entre si e têm comprimento 1, o que é uma propriedade muito bacana porque facilita várias operações matemáticas.Resposta
Depois de diagonalizar as matrizes A e B no MATLAB, obtivemos as matrizes dos autovalores D e D_B, e as matrizes dos autovetores X e X_B. Para a matriz B, verificamos que X_B é igual a X_B⁻¹, o que conclui que os autovetores de B são ortonormais.