Calcule os seguintes limites, se existirem.
lim x 4 x-4raiz[3]x+4-2
R: 12

Passo 1

Vamos entender o enunciado: queremos calcular o limite quando se aproxima de 4 da expressão . Isso envolve limites e manipulação de raízes cúbicas. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão para eliminar a indeterminação que surge ao substituir .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 4-4raiz[3]4+4-2 = 0raiz[3]8-2 = 02-2 = 00 diretamente na expressão para verificar o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos racionalizar o denominador. Sabemos que para expressões com raízes cúbicas, podemos usar a identidade:
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Aqui, seja (raiz[3]x+4)^3 - 2^3 = (raiz[3]x+4 - 2)((raiz[3]x+4)^2 + 2raiz[3]x+4 + 4) e x + 4 - 8 = x - 4 . Aplicando a identidade:
x - 4 = (raiz[3]x+4 - 2)((raiz[3]x+4)^2 + 2raiz[3]x+4 + 4)
Simplificando o lado esquerdo:
Portanto:

Passo 4

Agora, podemos reescrever a expressão original substituindo x-4raiz[3]x+4-2 = (raiz[3]x+4 - 2)((raiz[3]x+4)^2 + 2raiz[3]x+4 + 4)raiz[3]x+4-2 :
(raiz[3]x+4)^2 + 2raiz[3]x+4 + 4
Cancelando o termo no numerador e denominador:

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo (raiz[3]4+4)^2 + 2raiz[3]4+4 + 4 = (raiz[3]8)^2 + 2cdotraiz[3]8 + 4 = 2^2 + 2cdot2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 :

Resposta

O limite é igual a 12.

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