Dada a matriz abaixo, tente determinar, usando o MATLAB, o autovalor de maior valor absoluto usando o método da potência, partindo do ponto inicial . Compare o vetor x inicial com os autovetores da matriz e explique o que aconteceu.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e um vetor inicial . O objetivo aqui é encontrar o autovalor de maior valor absoluto dessa matriz usando o Método da Potência no MATLAB. Além disso, vamos comparar esse vetor inicial com os autovetores da matriz e entender o que acontece durante o processo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores, autovetores e como funciona o Método da Potência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz , um escalar é um autovalor se existir um vetor não nulo tal que:
Aqui, é o autovetor associado ao autovalor . O Método da Potência é uma técnica iterativa para encontrar o autovalor de maior valor absoluto e seu autovetor correspondente.
Passo 3
O Método da Potência funciona basicamente assim:
Escolhe-se um vetor inicial .
Multiplica-se esse vetor pela matriz para obter um novo vetor .
Normaliza-se para evitar números muito grandes ou muito pequenos.
Repete-se o processo até que o vetor convirja para o autovetor correspondente ao maior autovalor.
Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, vamos definir nossa matriz e o vetor inicial no MATLAB:
Passo 5
No MATLAB, o código para uma iteração do Método da Potência seria:
A = [5-2-2; -171; -306];
x = [1; -1; 2];
x = A * x;
x = x / norm(x);
Aqui, multiplicamos por para obter o próximo vetor e depois normalizamos dividindo pela sua norma (comprimento).
Passo 6
Vamos repetir esse processo várias vezes até que pare de mudar significativamente. Cada iteração nos aproxima mais do autovetor correspondente ao maior autovalor. No MATLAB, podemos usar um loop para automatizar isso:
A = [5-2-2; -171; -306];
x = [1; -1; 2];
num_iter = 10; % Número de iteraçõesfori = 1:num_iter
x = A * x;
x = x / norm(x);
enddisp(x);
Passo 7
Após executar o código, vamos obter um vetor que se aproxima do autovetor dominante. Para encontrar o autovalor correspondente, podemos usar a relação:
onde é o autovetor encontrado.
Passo 8
Vamos calcular no MATLAB:
lambda = (x' * A * x) / (x' * x);
disp(lambda);
Isso nos dará o autovalor de maior valor absoluto.
Passo 9
Agora, vamos comparar o vetor inicial com os autovetores da matriz . Ao aplicar o Método da Potência, estamos essencialmente projetando o vetor inicial na direção do autovetor dominante. Se o vetor inicial tiver alguma componente nessa direção, ele irá “alinhar” com o autovetor após algumas iterações.
Resposta
Depois de várias iterações do Método da Potência no MATLAB, encontramos que o autovalor de maior valor absoluto da matriz é aproximadamente . O vetor inicial converge para um autovetor correspondente a esse autovalor dominante, mostrando que o Método da Potência trouxe o vetor inicial para a direção do autovetor principal da matriz.