Calcule os seguintes limites, se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Esse exercício está ligado ao estudo de limites em cálculo, e para resolver, a gente vai precisar usar as séries de Taylor das funções exponencial, seno e logaritmo natural.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as expansões de Taylor para cada uma dessas funções perto de
:
- Exponencial:
- Seno:
- Logaritmo:
Vamos usar essas expansões até os termos de
para ter uma boa aproximação.
Passo 3
Agora, substituímos essas expansões na expressão do limite:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por
:
Agora, ao fazer
tender a 0, os termos com
e
no numerador vão para 0, e no denominador, os termos com
também vão para 0. Assim, a expressão se aproxima de:
Resposta
O limite é igual a
.