Beleza, vamos calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Esse exercício está ligado ao estudo de limites em cálculo, e para resolver, a gente vai precisar usar as séries de Taylor das funções exponencial, seno e logaritmo natural.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as expansões de Taylor para cada uma dessas funções perto de :
Exponencial:
Seno:
Logaritmo:
Vamos usar essas expansões até os termos de para ter uma boa aproximação.
Passo 3
Agora, substituímos essas expansões na expressão do limite:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por :
Agora, ao fazer tender a 0, os termos com e no numerador vão para 0, e no denominador, os termos com também vão para 0. Assim, a expressão se aproxima de: