Calcule os seguintes limites, se existirem.
lim x 0 e^x-sen(x)-1ln (x+1)
R: 0

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Esse exercício está ligado ao estudo de limites em cálculo, e para resolver, a gente vai precisar usar as séries de Taylor das funções exponencial, seno e logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as expansões de Taylor para cada uma dessas funções perto de :
  • Exponencial:
  • Seno:
  • Logaritmo:
Vamos usar essas expansões até os termos de para ter uma boa aproximação.

Passo 3

Agora, substituímos essas expansões na expressão do limite:
e^x - sin(x) - 1ln(x+1) = (1 + x + x^22 + x^36) - (x - x^36) - 1x - x^22 + x^33

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
1 + x + x^22 + x^36 - x + x^36 - 1 = x^22 + x^33
Então, a expressão fica:
x^22 + x^33x - x^22 + x^33

Passo 5

Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por x2 + x^231 - x2 + x^23 :
01 = 0
Agora, ao fazer tender a 0, os termos com e no numerador vão para 0, e no denominador, os termos com também vão para 0. Assim, a expressão se aproxima de:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites, se existirem.
lim x 4 x-4raiz[3]x+4-2
R: 12
Ache os autovalores e autovetores (à esquerda e à direita) da matriz abaixo.
[ 1 2 -4 ; 0 2 1 ; 0 0 3 ]
Para cada uma das matrizes abaixo, calcule, usando o MATLAB, a diagonalização correspondente. Para a matriz B , compare X e X^-1 e diga o que você pode concluir sobre os autovetores obtidos.
A=[ccc 1 & 2 & 3 -2 & 1 & 2 0 & 1 & -3 ] e B=[ccc 1 & 2 & 3 2 & -1 & 4 3 & 4 & 2 ]
Dadas as matrizes:
A=[ccc -3 & 2 & 4 1 & -4 & -1 1 & 1 & -6 ] e B=[ccc -3 & 1 & 0 1 & -4 & 2 0 & 2 & 2 ]
d) Calcule o maior e o menor autovalor de A (e os autovetores correspondentes) usando o método da potência. A convergência foi rápida? Por que?