Calcule os seguintes limites, se existirem.
lim x 0 e^x-sen(x)-1ln (x+1)
R: 0

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Esse exercício está ligado ao estudo de limites em cálculo, e para resolver, a gente vai precisar usar as séries de Taylor das funções exponencial, seno e logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as expansões de Taylor para cada uma dessas funções perto de :
  • Exponencial:
  • Seno:
  • Logaritmo:
Vamos usar essas expansões até os termos de para ter uma boa aproximação.

Passo 3

Agora, substituímos essas expansões na expressão do limite:
e^x - sin(x) - 1ln(x+1) = (1 + x + x^22 + x^36) - (x - x^36) - 1x - x^22 + x^33

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
1 + x + x^22 + x^36 - x + x^36 - 1 = x^22 + x^33
Então, a expressão fica:
x^22 + x^33x - x^22 + x^33

Passo 5

Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por x2 + x^231 - x2 + x^23 :
01 = 0
Agora, ao fazer tender a 0, os termos com e no numerador vão para 0, e no denominador, os termos com também vão para 0. Assim, a expressão se aproxima de:

Resposta

O limite é igual a .

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