Para cada uma das matrizes abaixo
[lll 1 & 2 & 4 2 & 5 & 8 ]
(b) Usando o Teorema do Núcleo e Imagem, determine a nulidade da transformação linear associada à matriz.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que envolve matrizes e transformações lineares. Aqui, a gente vai usar o Teorema do Núcleo e Imagem (também conhecido como Teorema do Rango e Núcleo) para encontrar a nulidade da transformação linear associada à matriz dada. Basicamente, vamos descobrir quantas soluções tem a equação homogênea associada a essa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a matriz representa. A matriz que temos é:
1 & 2 & 4 2 & 5 & 8
Essa matriz representa uma transformação linear . Ou seja, ela transforma vetores de 3 dimensões ( ) em vetores de 2 dimensões ( ).

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o Teorema do Núcleo e Imagem. Esse teorema nos diz que:
dim(V) = rank(A) + nullidade(A)
Onde:
  • é a dimensão do espaço de partida, que aqui é , então .
  • é o posto da matriz , que corresponde ao número de colunas pivôs na matriz.
  • é a nulidade da matriz , que é o que queremos encontrar.

Passo 4

Para aplicar o teorema, precisamos encontrar o posto da matriz 1 & 2 & 4 2 & 5 & 8 . Vamos fazer isso colocando a matriz na forma escalonada (ou reduzida). Vamos usar operações elementares de linha para simplificar a matriz.
Matriz inicial:
1 & 2 & 4 0 & 1 & 0
Vamos eliminar o elemento abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
rank(A) = 2
Agora, a matriz está na forma escalonada. O número de linhas não nulas é o posto da matriz . Aqui, temos 2 linhas não nulas, então:

Passo 5

Com o posto da matriz encontrado, podemos usar o Teorema do Núcleo e Imagem para encontrar a nulidade:
dim(V) = rank(A) + nullidade(A) 3 = 2 + nullidade(A)
Subtraindo 2 de ambos os lados:
nullidade(A) = 3 - 2 nullidade(A) = 1

Resposta

A nulidade da transformação linear associada à matriz é 1.

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