Para cada uma das matrizes abaixo
(b) Usando o Teorema do Núcleo e Imagem, determine a nulidade da transformação linear associada à matriz.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que envolve matrizes e transformações lineares. Aqui, a gente vai usar o Teorema do Núcleo e Imagem (também conhecido como Teorema do Rango e Núcleo) para encontrar a nulidade da transformação linear associada à matriz dada. Basicamente, vamos descobrir quantas soluções tem a equação homogênea associada a essa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a matriz representa. A matriz que temos é:
Essa matriz representa uma transformação linear
. Ou seja, ela transforma vetores de 3 dimensões (
) em vetores de 2 dimensões (
).
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o Teorema do Núcleo e Imagem. Esse teorema nos diz que:
Onde:
-
é a dimensão do espaço de partida, que aqui é , então . -
é o posto da matriz , que corresponde ao número de colunas pivôs na matriz. -
é a nulidade da matriz , que é o que queremos encontrar.
Passo 4
Para aplicar o teorema, precisamos encontrar o posto da matriz
. Vamos fazer isso colocando a matriz na forma escalonada (ou reduzida). Vamos usar operações elementares de linha para simplificar a matriz.
Matriz inicial:
Vamos eliminar o elemento abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Agora, a matriz está na forma escalonada. O número de linhas não nulas é o posto da matriz
. Aqui, temos 2 linhas não nulas, então:
Passo 5
Com o posto da matriz encontrado, podemos usar o Teorema do Núcleo e Imagem para encontrar a nulidade:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Resposta
A nulidade da transformação linear associada à matriz é 1.