Para cada uma das matrizes abaixo
(a) Encontre uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determine o posto dessa transformação.
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma matriz que representa uma transformação linear. O enunciado pede pra encontrar uma base para a imagem dessa transformação e determinar o posto dela. A imagem da transformação é basicamente todos os vetores que a transformação consegue “alcançar”. O posto da matriz é o número de vetores na base da imagem, ou seja, é a dimensão da imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a base da imagem, a gente precisa identificar as colunas da matriz que são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma coluna pode ser escrita como combinação das outras.
A matriz que temos é:
Passo 3
Vamos verificar se as colunas são linearmente independentes. Para isso, vamos ver se existe uma combinação linear das primeiras colunas que dá a terceira coluna.
Suponha que exista um número
tal que:
Resolvendo isso:
Para a primeira linha:
→
Para a segunda linha:
→
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 5
Encontramos que
e
, ou seja:
Isso mostra que a terceira coluna é uma combinação linear das duas primeiras. Portanto, a terceira coluna não é necessária para a base da imagem.
Passo 6
Assim, as colunas que formam a base da imagem são as duas primeiras colunas:
Esses vetores são linearmente independentes e geram toda a imagem da transformação.
Resposta
A base para a imagem da transformação é formada pelos vetores
e
. O posto dessa transformação é 2.