Para cada uma das matrizes abaixo
[lll 1 & 2 & 4 2 & 5 & 8 ]
(a) Encontre uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determine o posto dessa transformação.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma matriz que representa uma transformação linear. O enunciado pede pra encontrar uma base para a imagem dessa transformação e determinar o posto dela. A imagem da transformação é basicamente todos os vetores que a transformação consegue “alcançar”. O posto da matriz é o número de vetores na base da imagem, ou seja, é a dimensão da imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a base da imagem, a gente precisa identificar as colunas da matriz que são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma coluna pode ser escrita como combinação das outras.
A matriz que temos é:
1 & 2 & 4 2 & 5 & 8

Passo 3

Vamos verificar se as colunas são linearmente independentes. Para isso, vamos ver se existe uma combinação linear das primeiras colunas que dá a terceira coluna.
Suponha que exista um número a cdot 1 2 + b cdot 2 5 = 4 8 tal que:
Resolvendo isso:
Para a primeira linha:
Para a segunda linha:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:


Então,

Passo 5

Encontramos que 4 cdot 1 2 + 0 cdot 2 5 = 4 8 e , ou seja:
Isso mostra que a terceira coluna é uma combinação linear das duas primeiras. Portanto, a terceira coluna não é necessária para a base da imagem.

Passo 6

Assim, as colunas que formam a base da imagem são as duas primeiras colunas:
1 2 e 2 5
Esses vetores são linearmente independentes e geram toda a imagem da transformação.

Resposta

A base para a imagem da transformação é formada pelos vetores 1 2 e 2 5 . O posto dessa transformação é 2.

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