Para cada uma das matrizes abaixo
(a) Encontre uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determine o posto dessa transformação.
(a) Encontre uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determine o posto dessa transformação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz
e o que precisamos fazer é encontrar uma base para a imagem da transformação linear associada a essa matriz e também determinar o posto dessa transformação. Basicamente, isso envolve entender como as colunas dessa matriz se relacionam e identificar quais são essenciais para descrever a transformação.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação aos vetores do espaço de partida. No caso, as colunas da matriz representam os vetores resultantes da transformação aplicada aos vetores da base do espaço de partida.
Passo 3
Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar quais colunas da matriz são linearmente independentes. Colunas linearmente independentes são aquelas que não podem ser escritas como combinações lineares umas das outras. Essas colunas vão formar a base da imagem.
Passo 4
Vamos observar as colunas da matriz:
1ª coluna:
2ª coluna:
3ª coluna:
Notamos que a segunda coluna é exatamente o dobro da primeira, e a terceira coluna é o quádruplo da primeira. Isso significa que todas as colunas são múltiplos umas das outras, ou seja, são linearmente dependentes.
Passo 5
Como todas as colunas são múltiplos da primeira, apenas a primeira coluna é necessária para gerar todas as outras. Portanto, a base para a imagem será composta apenas pela primeira coluna.
Passo 6
Agora, o posto da transformação linear é o número de vetores na base da imagem. Já que nossa base tem apenas uma coluna, o posto é 1.
Resposta
Uma base para a imagem é
e o posto da transformação é 1.