Para cada uma das matrizes abaixo
[lll1 & 2 & 4 2 & 4 & 8]
(a) Encontre uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determine o posto dessa transformação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz [lll1 & 2 & 4 2 & 4 & 8] e o que precisamos fazer é encontrar uma base para a imagem da transformação linear associada a essa matriz e também determinar o posto dessa transformação. Basicamente, isso envolve entender como as colunas dessa matriz se relacionam e identificar quais são essenciais para descrever a transformação.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação aos vetores do espaço de partida. No caso, as colunas da matriz representam os vetores resultantes da transformação aplicada aos vetores da base do espaço de partida.

Passo 3

Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar quais colunas da matriz são linearmente independentes. Colunas linearmente independentes são aquelas que não podem ser escritas como combinações lineares umas das outras. Essas colunas vão formar a base da imagem.

Passo 4

Vamos observar as colunas da matriz:
1ª coluna: 1 2
2ª coluna: 2 4
3ª coluna: 4 8
Notamos que a segunda coluna é exatamente o dobro da primeira, e a terceira coluna é o quádruplo da primeira. Isso significa que todas as colunas são múltiplos umas das outras, ou seja, são linearmente dependentes.

Passo 5

Como todas as colunas são múltiplos da primeira, apenas a primeira coluna é necessária para gerar todas as outras. Portanto, a base para a imagem será composta apenas pela primeira coluna.

Passo 6

Agora, o posto da transformação linear é o número de vetores na base da imagem. Já que nossa base tem apenas uma coluna, o posto é 1.

Resposta

Uma base para a imagem é ,1 2, e o posto da transformação é 1.

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