Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
© [ll1 & 3 3 & 2]

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços da matriz:
1 & 3 3 & 2
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e vetores próprios. Vamos por partes para facilitar!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz. Esse polinômio é obtido calculando o determinante de A - lambda I = 1 - lambda & 3 3 & 2 - lambda , onde det(A - lambda I) = (1 - lambda)(2 - lambda) - (3 times 3) é a matriz dada e (1 - lambda)(2 - lambda) = 2 - 3lambda + lambda^2 é a matriz identidade.
det(A - lambda I) = 2 - 3lambda + lambda^2 - 9 = lambda^2 - 3lambda - 7
O determinante dessa matriz é:
p(lambda) = lambda^2 - 3lambda - 7
Vamos expandir isso:
Então, o polinômio característico é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores resolvendo a equação característica lambda^2 - 3lambda - 7 = 0 :
lambda = 3 pm raiz9 + 282 = 3 pm raiz372
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda1 = 3 + raiz372, lambda2 = 3 - raiz372
Portanto, os autovalores são:

Passo 4

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os respectivos autoespaços. Para cada A - lambda1 I = 1 - lambda1 & 3 3 & 2 - lambda1 , resolvemos 1 - lambda1 = 1 - 3 + raiz372 = -1 - raiz372 para encontrar os vetores próprios 2 - lambda1 = 2 - 3 + raiz372 = 1 - raiz372 .
Para -1 - raiz372x1 + 3x2 = 0 :
x1 = 6x2-1 - raiz37 = 6x2-1 - raiz37 times -1 + raiz37-1 + raiz37 = 6x2(-1 + raiz37)1 - 37 = 6x2(-1 + raiz37)-36 = (-1 + raiz37)6x2
Vamos substituir x1 = -1 + raiz376 1 :
1 - lambda2 = 1 - 3 - raiz372 = -1 + raiz372
2 - lambda2 = 2 - 3 - raiz372 = 1 + raiz372
A equação fica:
-1 + raiz372x1 + 3x2 = 0
Podemos isolar x1 = -6x2-1 + raiz37 = 6x21 - raiz37 times 1 + raiz371 + raiz37 = 6x2(1 + raiz37)1 - 37 = 6x2(1 + raiz37)-36 = (1 + raiz37)-6x2 :
x2 = 1 + raiz37-6 1
Então, um vetor próprio correspondente a é:
Para :
Seguindo o mesmo processo:
A equação fica:
Isolando :
Então, um vetor próprio correspondente a é:

Resposta

Polinômio característico:
p(lambda) = lambda^2 - 3lambda - 7
Autovalores:
lambda1 = 3 + raiz372, lambda2 = 3 - raiz372
Autoespaços:
Elambda1 = -1 + raiz376 1 , Elambda2 = 1 + raiz37-6 1

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