Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
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Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços da matriz:
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e vetores próprios. Vamos por partes para facilitar!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz. Esse polinômio é obtido calculando o determinante de
, onde
é a matriz dada e
é a matriz identidade.
O determinante dessa matriz é:
Vamos expandir isso:
Então, o polinômio característico é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores resolvendo a equação característica
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:
Passo 4
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os respectivos autoespaços. Para cada
, resolvemos
para encontrar os vetores próprios
.
Para
:
Vamos substituir
:
A equação fica:
Podemos isolar
:
Então, um vetor próprio correspondente a
é:
Para
:
Seguindo o mesmo processo:
A equação fica:
Isolando
:
Então, um vetor próprio correspondente a
é:
Resposta
Polinômio característico:
Autovalores:
Autoespaços: