Seja T: R^2 R^2 a transformação linear dada por
T(a, b)=(-4 b, a+5 b)
Determine a matriz [T]alpha^alpha que representa T em relação à base
alpha=(1,-1),(-4,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a matriz da transformação linear em relação a uma base específica . A matéria envolvida é Transformações Lineares e Mudança de Base. Para isso, vamos precisar aplicar a transformação nos vetores da base e expressar os resultados em termos dessa mesma base.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação T(v1) = T(1, -1) = (-4 times (-1), 1 + 5 times (-1)) = (4, 1 - 5) = (4, -4) em cada vetor da base T(v2) = T(-4, 1) = (-4 times 1, -4 + 5 times 1) = (-4, -4 + 5) = (-4, 1) .
Para o primeiro vetor :
Para o segundo vetor :

Passo 3

Agora, precisamos expressar esses resultados T(v1) = c11v1 + c21v2 e T(v2) = c12v1 + c22v2 como combinações lineares dos vetores da base .
Vamos supor que:
Onde são os coeficientes que vamos encontrar.

Passo 4

Vamos encontrar os coeficientes para (4, -4) = c11(1, -1) + c21(-4, 1) :
1c11 - 4c21 = 4 (1)
Isso resulta no sistema:
-1c11 + 1c21 = -4 (2)
- c11 + c21 = -4 implies c21 = c11 - 4
Resolvendo o sistema:
Da equação (2):
c11 - 4(c11 - 4) = 4
Substituindo na equação (1):
c11 - 4c11 + 16 = 4
-3c11 = -12 implies c11 = 4
c21 = 4 - 4 = 0
Então,
T(v1) = 4v1 + 0v2
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os coeficientes para (-4, 1) = c12(1, -1) + c22(-4, 1) :
1c12 - 4c22 = -4 (3)
Isso resulta no sistema:
-1c12 + 1c22 = 1 (4)
- c12 + c22 = 1 implies c22 = c12 + 1
Resolvendo o sistema:
Da equação (4):
c12 - 4(c12 + 1) = -4
Substituindo na equação (3):
c12 - 4c12 - 4 = -4
-3c12 = 0 implies c12 = 0
c22 = 0 + 1 = 1
Então,
T(v2) = 0v1 + 1v2
Portanto:

Resposta

A matriz [T]alpha^alpha = 4 & 0 0 & 1 que representa a transformação na base é:

Exercícios relacionados