Seja
a transformação linear dada por
Determine a matriz
que representa
em relação à base
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a matriz da transformação linear
em relação a uma base específica
. A matéria envolvida é Transformações Lineares e Mudança de Base. Para isso, vamos precisar aplicar a transformação nos vetores da base e expressar os resultados em termos dessa mesma base.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformação
em cada vetor da base
.
Para o primeiro vetor
:
Para o segundo vetor
:
Passo 3
Agora, precisamos expressar esses resultados
e
como combinações lineares dos vetores da base
.
Vamos supor que:
Onde
são os coeficientes que vamos encontrar.
Passo 4
Vamos encontrar os coeficientes para
:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo o sistema:
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Então,
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os coeficientes para
:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo o sistema:
Da equação (4):
Substituindo na equação (3):
Então,
Portanto:
Resposta
A matriz
que representa a transformação
na base
é: