Para cada número real
, considere a função quadrática
.
d) Encontre, para a função determinada no item c) e para cada
, o único
tal que
.
d) Encontre, para a função determinada no item c) e para cada
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com uma função quadrática dada por
. Nosso objetivo aqui é, para cada valor de
no intervalo
, encontrar o único valor de
que seja maior ou igual a zero tal que
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conhecimentos de equações quadráticas e entender como resolver essas equações para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que estamos igualando a função quadrática a um valor
, ou seja:
Nosso objetivo é resolver essa equação para
, ou seja, encontrar o valor de
que satisfaz a igualdade para um dado
.
Passo 3
Para resolver essa equação para
, vamos reorganizar tudo para um lado da igualdade, formando uma equação quadrática padrão:
Agora, temos uma equação do tipo
, onde:
Passo 4
Para resolver uma equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara, que nos dá as raízes da equação:
Vamos aplicar essa fórmula aos nossos coeficientes.
Passo 5
Substituindo os valores de
,
e
na fórmula de Bhaskara:
Passo 6
Agora, observamos que para
, o discriminante
deve ser não negativo para que a raiz exista. Como
, o termo
garante que o discriminante seja positivo.
Além disso, como queremos
, escolhemos a solução que resulta em um valor não negativo. Geralmente, isso corresponde ao uso do sinal positivo na fórmula de Bhaskara.
Passo 7
Portanto, a solução para
é:
Essa é a única solução que satisfaz
para
.
Resposta
Para cada
, o único
tal que
é:
Exercícios relacionados
(b)
Descreva o domínio de
e ache os valores funcionais indicados
e
.
Esboce o gráfico de
.
.
©