Esboce o gráfico de f. f(x, y) = raiz(72 + 4 x^2 - 9 y^2).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e superfícies no espaço tridimensional. Precisaremos analisar onde a função está definida e identificar o tipo de superfície que ela representa.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja real. Dentro da raiz quadrada, a expressão precisa ser maior ou igual a zero:
Isso define a região do plano (x, y) onde o gráfico da função existe.

Passo 3

Para facilitar a análise, vamos eliminar a raiz quadrada elevando os dois lados ao quadrado:
Agora, temos a equação:

Passo 4

Essa equação se assemelha à forma geral das superfícies quadráticas:
Comparando com a nossa equação:

Passo 5

A superfície definida por essa equação é um hiperboloide de uma folha. Esse tipo de superfície tem uma aparência aberta, como uma sela, e se estende infinitamente em duas direções opostas.

Passo 6

Para esboçar o gráfico, vamos analisar seções específicas:
  • Quando x = 0:
    Isso representa uma elipse.
  • Quando :
    Isso representa uma hipérbole.
  • Quando :
    Porém, isso não satisfaz a condição inicial , então não há interseção com o plano z = 0.

Passo 7

Com as seções analisadas, podemos visualizar o hiperboloide de uma folha:
  • Simetria: É simétrica em relação aos eixos x, y e z.
  • Interseções: Tem seções elípticas no plano x = 0 e hiperbólicas no plano y = 0.
  • Abertura: Se abre ao longo do eixo z, se estendendo para cima e para baixo indefinidamente.

Resposta

O gráfico de é a metade positiva de um hiperboloide de uma folha, que se abre ao longo do eixo z e possui seções elípticas no plano x = 0 e hiperbólicas no plano y = 0.

Exercícios relacionados

Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x^2 + m x + 2.
d) Encontre, para a função determinada no item c) e para cada y ∈ [2, +∞), o único x >= 0 tal que y = f(x).
(b) 3^log_x(5) = 5
© 10^(log_x 7) = 7
Esboce o gráfico de f. f(x, y) = raiz(y^2 - 4x^2 - 16).