Esboce o gráfico de
.
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e superfícies no espaço tridimensional. Precisaremos analisar onde a função está definida e identificar o tipo de superfície que ela representa.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja real. Dentro da raiz quadrada, a expressão
precisa ser maior ou igual a zero:
Isso define a região do plano
onde o gráfico da função existe.
Passo 3
Para facilitar a análise, vamos eliminar a raiz quadrada elevando os dois lados ao quadrado:
Agora, temos a equação:
Passo 4
Essa equação se assemelha à forma geral das superfícies quadráticas:
Comparando com a nossa equação:
Passo 5
A superfície definida por essa equação é um hiperboloide de uma folha. Esse tipo de superfície tem uma aparência aberta, como uma sela, e se estende infinitamente em duas direções opostas.
Passo 6
Para esboçar o gráfico, vamos analisar seções específicas:
-
Quando
: Isso representa uma elipse. -
Quando
: Isso representa uma hipérbole. -
Quando
: Porém, isso não satisfaz a condição inicial, então não há interseção com o plano .
Passo 7
Com as seções analisadas, podemos visualizar o hiperboloide de uma folha:
- Simetria: É simétrica em relação aos eixos
, e . - Interseções: Tem seções elípticas no plano
e hiperbólicas no plano . - Abertura: Se abre ao longo do eixo
, se estendendo para cima e para baixo indefinidamente.
Resposta
O gráfico de
é a metade positiva de um hiperboloide de uma folha, que se abre ao longo do eixo
e possui seções elípticas no plano
e hiperbólicas no plano
.
Exercícios relacionados
Para cada número real
, considere a função quadrática
.
d) Encontre, para a função determinada no item c) e para cada , o único
tal que
.
d) Encontre, para a função determinada no item c) e para cada
(b)
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Esboce o gráfico de
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