Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis e . Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em ?
(D)
&-18 x-15 y-24 z=-12 & 27 x+6 z=9 & x=7
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que apresenta duas sistemas lineares com as variáveis , e . A pergunta é: Em qual das opções os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1, ou seja, são retas em ? Vamos focar na opção (D) para resolver isso. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver sistemas lineares e determinar a dimensão dos conjuntos-solução.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no primeiro sistema da opção (D):
4x + 9y + 2z = 8 8y + 5z = 9 24y + 15z = 27
Nosso objetivo aqui é ver se esse sistema tem soluções que formam uma reta em , ou seja, se o conjunto-solução tem dimensão 1. Para isso, vamos resolver o sistema passo a passo.
Passo 3
Vamos começar resolvendo o segundo e o terceiro equações, já que eles têm apenas 8y + 5z = 9 (Equação 2) 24y + 15z = 27 (Equação 3) e 24y + 15z = 27 Rightarrow 8y + 5z = 9 :
8y + 5z = 9 Rightarrow y = 9 - 5z8 çãçã
Podemos simplificar a Equação 3 dividindo todos os termos por 3:
4x + 9(9 - 5z8) + 2z = 8
Agora, percebemos que a Equação 3 simplificada é igual à Equação 2. Isso significa que as duas equações são dependentes, ou seja, essencialmente a mesma equação. Portanto, temos apenas duas equações independentes para três variáveis, o que geralmente resulta em uma solução com uma dimensão a mais, ou seja, uma reta.
Vamos confirmar isso resolvendo para 4x + 81 - 45z8 + 2z = 8 e 32x + 81 - 45z + 16z = 64 :
Da Equação 2:
32x - 29z = -17
Agora, substituímos x = -17 + 29z32 na Equação 1:
x = -17 + 29z32, y = 9 - 5z8, z = z
Vamos simplificar:
Multiplicando tudo por 8 para eliminar o denominador:
Simplificando:
Agora, temos uma relação entre e . Podemos resolver para :
Então, temos:
Aqui, é o parâmetro livre, o que confirma que o conjunto-solução é uma reta em , ou seja, tem dimensão 1.
Passo 4
Agora, vamos analisar o segundo sistema da opção (D):
-18x -15y -24z = -12 27x + 6z = 9 x = 7
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 5
Primeiro, já temos 27(7) + 6z = 9 Rightarrow 189 + 6z = 9 . Vamos usar isso nas outras equações.
Substituindo 6z = 9 - 189 Rightarrow 6z = -180 Rightarrow z = -30 na segunda equação:
Resolvendo para -15y + 594 = -12 Rightarrow -15y = -606 Rightarrow y = 40.4 :
x = 7, y = 40.4, z = -30
Agora, com e , vamos substituir na primeira equação para encontrar :
Simplificando:
Então, encontramos valores específicos para , e :
Isso significa que o conjunto-solução desse sistema é um ponto único em , que tem dimensão 0.
Resposta
Na opção (D), o primeiro sistema possui um conjunto-solução que é uma reta em (dimensão 1), mas o segundo sistema possui apenas um ponto como solução (dimensão 0). Portanto, a opção (D) não atende à condição de ambos os sistemas terem dimensão 1.