Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
[rrr|r1 & -2 & -2 & 1 -1 & -2 & 0 & 0 -1 & -6 & 0 & 3 -2 & 12 & 6 & k]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(H) 1

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema linear representado por uma matriz aumentada. Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que esse sistema tenha solução. Para isso, vamos usar métodos de eliminação para simplificar a matriz e descobrir as condições necessárias para que o sistema seja compatível.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a matriz aumentada para facilitar a visualização:
1 & -2 & -2 & | & 1 -1 & -2 & 0 & | & 0 -1 & -6 & 0 & | & 3 -2 & 12 & 6 & | & k
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema.

Passo 3

Vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar a matriz. Nosso objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular, onde podemos facilmente encontrar as soluções ou condições para Linha 2 = Linha 2 + Linha 1 .
Primeiro, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (a primeira entrada da primeira linha, que é 1).
Para a segunda linha:
-1 + 1 = 0, -2 + (-2) = -4, 0 + (-2) = -2, 0 + 1 = 1
Linha 3 = Linha 3 + Linha 1
Para a terceira linha:
-1 + 1 = 0, -6 + (-2) = -8, 0 + (-2) = -2, 3 + 1 = 4
Linha 4 = Linha 4 + 2 times Linha 1
Para a quarta linha:
-2 + 2 times 1 = 0, 12 + 2 times (-2) = 8, 6 + 2 times (-2) = 2, k + 2 times 1 = k + 2
1 & -2 & -2 & | & 1 0 & -4 & -2 & | & 1 0 & -8 & -2 & | & 4 0 & 8 & 2 & | & k + 2
A matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda coluna. Nosso próximo pivô é -4 na segunda linha.
Primeiro, vamos dividir a segunda linha por -4 para tornar o pivô igual a 1:
Linha 2 = Linha 2-4
0, 1, 12, -14
A matriz fica:
1 & -2 & -2 & | & 1 0 & 1 & 12 & | & -14 0 & -8 & -2 & | & 4 0 & 8 & 2 & | & k + 2

Passo 5

Agora, vamos zerar os elementos abaixo e acima do pivô na segunda coluna.
Para a terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + 8 times Linha 2
0 + 0 = 0, -8 + 8 times 1 = 0, -2 + 8 times 12 = 2, 4 + 8 times (-14) = 4 - 2 = 2
Para a quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 - 8 times Linha 2
0 - 0 = 0, 8 - 8 times 1 = 0, 2 - 8 times 12 = 2 - 4 = -2, k + 2 - 8 times (-14) = k + 2 + 2 = k + 4
Para a primeira linha:
Linha 1 = Linha 1 + 2 times Linha 2
1 + 0 = 1, -2 + 2 times 1 = 0, -2 + 2 times 12 = -1, 1 + 2 times (-14) = 1 - 12 = 12
A matriz agora é:
1 & 0 & -1 & | & 12 0 & 1 & 12 & | & -14 0 & 0 & 2 & | & 2 0 & 0 & -2 & | & k + 4

Passo 6

Vamos agora focar na terceira coluna. O próximo pivô é 2 na terceira linha.
Primeiro, vamos dividir a terceira linha por 2 para simplificar:
Linha 3 = Linha 32
0, 0, 1, 1
A matriz fica:
1 & 0 & -1 & | & 12 0 & 1 & 12 & | & -14 0 & 0 & 1 & | & 1 0 & 0 & -2 & | & k + 4

Passo 7

Agora, vamos zerar os elementos acima e abaixo do pivô na terceira coluna.
Para a quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 + 2 times Linha 3
0 + 0 = 0, 0 + 0 = 0, -2 + 2 times 1 = 0, k + 4 + 2 times 1 = k + 6
Para a primeira linha:
Linha 1 = Linha 1 + 1 times Linha 3
1 + 0 = 1, 0 + 0 = 0, -1 + 1 = 0, 12 + 1 = 32
Para a segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - 12 times Linha 3
0 - 0 = 0, 1 - 0 = 1, 12 - 12 times 1 = 0, -14 - 12 = -34
A matriz final fica:
1 & 0 & 0 & | & 32 0 & 1 & 0 & | & -34 0 & 0 & 1 & | & 1 0 & 0 & 0 & | & k + 6

Passo 8

Para que o sistema tenha solução, a última linha da matriz deve representar uma equação válida. Observamos a última linha:
0x + 0y + 0z = k + 6
Isso simplifica para:
0 = k + 6
Para que essa igualdade seja verdadeira, precisamos que:
k + 6 = 0 implies k = -6

Resposta

O valor de que faz o sistema ter solução é .

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