O conjunto dos tais que pode ser representado por:
(G)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para representarmos o conjunto de todos os vetores (x1, x2, x3, x4) in R^4 que satisfazem a equação 5x1 + x4 = 2. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente lidando com espaços vetoriais e combinações lineares. Para resolver, vamos precisar entender como expressar soluções de equações lineares e como identificar vetores particulares e vetores da solução homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada: 5x1 + x4 = 2. Essa é uma equação linear que relaciona as variáveis x1 e x4. Podemos reorganizar essa equação para expressar x4 em função de x1:
x4 = 2 - 5x1
Isso significa que, para qualquer valor escolhido de x1, podemos determinar x4. As demais variáveis, x2 e x3, não estão presentes na equação e, portanto, podem assumir qualquer valor real. Elas são chamadas de variáveis livres.
Passo 3
Vamos atribuir parâmetros para as variáveis livres. Vamos chamar:
x2 = t e x3 = s
onde t e s são números reais qualquer. Agora, podemos expressar todas as variáveis em termos de x1, t e s:
x1 = x1 x2 = t x3 = s x4 = 2 - 5x1
Passo 4
Para representar o conjunto de soluções de forma vetorial, precisamos identificar uma solução particular e os vetores da solução homogênea. A solução particular é um vetor que satisfaz a equação original. Podemos escolher, por exemplo, x1 = 0, x2 = 0 e x3 = 0:
x1 = 0 x2 = 0 x3 = 0 x4 = 2
Então, a solução particular é o vetor:
0 0 0 2
Passo 5
Agora, vamos identificar os vetores que formam a solução homogênea, ou seja, os vetores que, quando multiplicados por um escalar e somados, ainda satisfazem a equação 5x1 + x4 = 0. A partir das expressões anteriores:
x4 = -5x1
E como x2 e x3 são livres, podemos expressar os vetores da solução homogênea como: