Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
[rrr|r1 & -2 & -2 & 1 -1 & -2 & 0 & 0 -1 & -6 & 0 & 3 -2 & 12 & 6 & k]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -6

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos um sistema linear representado por uma matriz aumentada. Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que esse sistema tenha solução. Para isso, vamos usar operações com linhas para simplificar a matriz e descobrir o valor de . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada que nos foi dada:
rrr|r 1 & -2 & -2 & 1 -1 & -2 & 0 & 0 -1 & -6 & 0 & 3 -2 & 12 & 6 & k

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, usando operações básicas de linha: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha de outra.

Passo 4

Vamos começar eliminando os números abaixo do primeiro 1 da primeira coluna. Para isso:
  • Linha 2: Adicione a Linha 1 à Linha 2.
  • Linha 3: Adicione a Linha 1 à Linha 3.
  • Linha 4: Adicione o dobro da Linha 1 à Linha 4.
Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 5

Operação 1: Linha 2 = Linha 2 + Linha 1
-1 + 1 = 0, -2 + (-2) = -4, 0 + (-2) = -2, 0 + 1 = 1
Então, a Linha 2 fica:

Passo 6

Operação 2: Linha 3 = Linha 3 + Linha 1
-1 + 1 = 0, -6 + (-2) = -8, 0 + (-2) = -2, 3 + 1 = 4
Então, a Linha 3 fica:

Passo 7

Operação 3: Linha 4 = Linha 4 + 2 \times Linha 1
-2 + 2 times 1 = 0, 12 + 2 times (-2) = 8, 6 + 2 times (-2) = 2, k + 2 times 1 = k + 2
Então, a Linha 4 fica:

Passo 8

Agora, a matriz ficou assim:
rrr|r 1 & -2 & -2 & 1 0 & -4 & -2 & 1 0 & -8 & -2 & 4 0 & 8 & 2 & k + 2
Vamos continuar simplificando.

Passo 9

Vamos focar na segunda coluna. Queremos que o coeficiente abaixo do -4 seja zero. Para isso:
  • Linha 3: Adicione 2 \times Linha 2 à Linha 3.
  • Linha 4: Adicione -2 \times Linha 2 à Linha 4.

Passo 10

Operação 4: Linha 3 = Linha 3 + 2 \times Linha 2
0 + 2 times 0 = 0, -8 + 2 times (-4) = -16, -2 + 2 times (-2) = -6, 4 + 2 times 1 = 6
Então, a Linha 3 fica: 0 + (-2) times 0 = 0, 8 + (-2) times (-4) = 16, 2 + (-2) times (-2) = 6, k + 2 + (-2) times 1 = k
Operação 5: Linha 4 = Linha 4 + (-2) \times Linha 2
Então, a Linha 4 fica:

Passo 11

Agora, a matriz está assim:
rrr|r 1 & -2 & -2 & 1 0 & -4 & -2 & 1 0 & -16 & -6 & 6 0 & 16 & 6 & k
Vamos simplificar mais dividindo a Linha 2 por -2 para facilitar os cálculos.

Passo 12

Operação 6: Dividir a Linha 2 por -2
0, -4 div (-2) = 2, -2 div (-2) = 1, 1 div (-2) = -0.5
Então, a Linha 2 fica:

Passo 13

A matriz agora é:
rrr|r 1 & -2 & -2 & 1 0 & 2 & 1 & -0.5 0 & -16 & -6 & 6 0 & 16 & 6 & k
Vamos usar a Linha 2 para eliminar os outros coeficientes na segunda coluna.

Passo 14

  • Linha 3: Adicione 8 \times Linha 2 à Linha 3.
  • Linha 4: Adicione -8 \times Linha 2 à Linha 4.

Passo 15

Operação 7: Linha 3 = Linha 3 + 8 \times Linha 2
0 + 8 times 0 = 0, -16 + 8 times 2 = 0, -6 + 8 times 1 = 2, 6 + 8 times (-0.5) = 6 - 4 = 2
Então, a Linha 3 fica: 0 + (-8) times 0 = 0, 16 + (-8) times 2 = 0, 6 + (-8) times 1 = -2, k + (-8) times (-0.5) = k + 4
Operação 8: Linha 4 = Linha 4 + (-8) \times Linha 2
Então, a Linha 4 fica:

Passo 16

Agora, a matriz está:
rrr|r 1 & -2 & -2 & 1 0 & 2 & 1 & -0.5 0 & 0 & 2 & 2 0 & 0 & -2 & k + 4
Vamos observar as últimas duas linhas para encontrar uma relação com .

Passo 17

Vamos somar a Linha 3 e a Linha 4 para eliminar a terceira coluna:
Linha 3 + Linha 4:
0 + 0 = 0, 0 + 0 = 0, 2 + (-2) = 0, 2 + (k + 4) = k + 6
Então, a nova linha fica:

Passo 18

A nova matriz é:
rrr|r 1 & -2 & -2 & 1 0 & 2 & 1 & -0.5 0 & 0 & 2 & 2 0 & 0 & 0 & k + 6
Para que o sistema tenha solução, não podemos ter uma linha do tipo ú, porque isso indicaria uma equação impossível, tipo ú.

Passo 19

Portanto, para o sistema ter solução, o termo constante na última linha deve ser zero:
k + 6 = 0

Resposta

O valor de que faz com que o sistema tenha solução é .

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