Para cada operador linear abaixo, calcule o polinômio característico, polinômio minimal, os autovalores e os autovetores, encontre base e a dimensão de cada autoespaço. Em seguida, determine se o operador é diagonalizável. Em caso afirmativo, exiba uma base formada por autovetores e escreva a matriz desse operador nessa base.
T: R^3 R^3 tal que T(x, y, z)=(x+y, x-y+2 z, 2 x+y-z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um operador linear definido por . Nosso objetivo é calcular o polinômio característico, o polinômio minimal, encontrar os autovalores e autovetores, determinar as bases dos autoespaços e ver se o operador é diagonalizável. Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear A = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 2 2 & 1 & -1 como uma matriz. Para isso, observamos como age nos vetores. A matriz que representa será:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico de A - lambda I = 1-lambda & 1 & 0 1 & -1-lambda & 2 2 & 1 & -1-lambda . Isso é feito calculando o determinante de det(A - lambda I) = (1-lambda)[(-1-lambda)(-1-lambda) - 2 cdot 1] - 1[1(-1-lambda) - 2 cdot 2] + 0 , onde = (1-lambda)(lambda^2 + 2lambda + 1) - 2 - 1(-1-lambda) - 4 é a matriz identidade e = (1-lambda)(lambda^2 + 2lambda -1) - (-5 - lambda) é um escalar.
= (1-lambda)(lambda^2 + 2lambda -1) + 5 + lambda
Calculando o determinante:
= lambda^2 + 2lambda -1 - lambda^3 - 2lambda^2 + lambda + 5 + lambda
Simplificando:
= -lambda^3 - lambda^2 + 4lambda + 4
pA(lambda) = -lambda^3 - lambda^2 + 4lambda + 4
Multiplicando:
pA(lambda) = lambda^3 + lambda^2 - 4lambda - 4
Portanto, o polinômio característico é:
Ou, multiplicando por -1 para simplificar:

Passo 4

Vamos agora encontrar os autovalores, resolvendo a equação lambda^3 + lambda^2 - 4lambda - 4 = 0 :
1 + 1 - 4 - 4 = -6 neq 0
Tentando valores inteiros, testamos 8 + 4 - 8 - 4 = 0 :
lambda^3 + lambda^2 - 4lambda - 4 = (lambda - 2)(lambda^2 + 3lambda + 2)
Testamos lambda^2 + 3lambda + 2 = (lambda + 1)(lambda + 2) :
lambda1 = 2, lambda2 = -1, lambda3 = -2
Então, é uma raiz. Vamos fazer a divisão polinomial para fatorar o polinômio:
Agora, fatorando :
Então, os autovalores são:

Passo 5

Vamos encontrar os autovetores para cada autovalor. Para isso, resolvemos A - 2I = -1 & 1 & 0 1 & -3 & 2 2 & 1 & -3 para cada -1x + y = 0 Rightarrow y = x .
Para x - 3y + 2z = 0 Rightarrow x - 3x + 2z = 0 Rightarrow -2x + 2z = 0 Rightarrow z = x :
v1 = 1 1 1
Resolvendo o sistema:
A + I = 2 & 1 & 0 1 & 0 & 2 2 & 1 & 0
2x + y = 0 Rightarrow y = -2x
Então, um autovetor associado a x + 2z = 0 Rightarrow z = -x2 é:
v2 = 1 -2 -12
Para A + 2I = 3 & 1 & 0 1 & 1 & 2 2 & 1 & 1 :
3x + y = 0 Rightarrow y = -3x
Resolvendo o sistema:
x + y + 2z = 0 Rightarrow x - 3x + 2z = 0 Rightarrow -2x + 2z = 0 Rightarrow z = x
v3 = 1 -3 1
Então, um autovetor associado a é:
Para :
Resolvendo o sistema:
Então, um autovetor associado a é:

Passo 6

Agora, vamos determinar as bases dos autoespaços e suas dimensões.
  • Para 1 1 1 :
    A base é 1 -2 -12 e a dimensão é 1.
  • Para 1 -3 1 :
    A base é e a dimensão é 1.
  • Para :
    A base é e a dimensão é 1.

Passo 7

Vamos verificar se o operador 1 + 1 + 1 = 3 é diagonalizável. Um operador é diagonalizável se a soma das dimensões dos autoespaços for igual à dimensão do espaço, que aqui é 3. Vimos que cada autoespaço tem dimensão 1, então:
Portanto, é diagonalizável.

Passo 8

Como B = 1 1 1 , 1 -2 -12 , 1 -3 1 é diagonalizável, podemos formar uma base com os autovetores encontrados:
AB = 2 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -2
Agora, a matriz de nessa base será uma matriz diagonal cujas entradas são os autovalores correspondentes:

Resposta

O operador 1 1 1 é diagonalizável. Uma base formada por autovetores é 1 -2 -12 e a matriz de 1 -3 1 nessa base é:
2 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -2

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