(a) Encontre a transformação linear T: R^3 R^2 tal que T(1,0,0)=(1,0), T(0,1,0)=(0,1), T(0,0,1)=(0,2).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma transformação linear que transforma vetores de 3 dimensões para 2 dimensões. A gente já sabe como age sobre os vetores da base canônica:
Para resolver isso, vamos usar a propriedade de linearidade das transformações lineares, que nos permite construir a partir das imagens desses vetores base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear T = T(1,0,0) & T(0,1,0) & T(0,0,1) pode ser representada por uma matriz. Como vai de para , essa matriz será de tamanho .
A matriz de é formada colocando as imagens dos vetores base como colunas. Ou seja:

Passo 3

Vamos substituir as imagens dos vetores base na matriz:
T = (1,0) & (0,1) & (0,2)
Isso significa que cada coluna da matriz T = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 é uma das imagens dadas:

Passo 4

Agora que temos a matriz de T(x) = T(x, y, z) = x cdot T(1,0,0) + y cdot T(0,1,0) + z cdot T(0,0,1) , podemos escrever a transformação linear de forma explícita. Se T(x, y, z) = x cdot (1,0) + y cdot (0,1) + z cdot (0,2) é um vetor em , então:
Substituindo as imagens:

Passo 5

Fazendo as contas:
T(x, y, z) = (x cdot 1 + y cdot 0 + z cdot 0, , x cdot 0 + y cdot 1 + z cdot 2)
Simplificando:
T(x, y, z) = (x, y + 2z)

Resposta

A transformação linear desejada é:
T(x, y, z) = (x, , y + 2z)
Ou, em forma de matriz:
T = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2

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