(a) Encontre a transformação linear
tal que
,
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma transformação linear
que transforma vetores de 3 dimensões para 2 dimensões. A gente já sabe como
age sobre os vetores da base canônica:
Para resolver isso, vamos usar a propriedade de linearidade das transformações lineares, que nos permite construir
a partir das imagens desses vetores base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
pode ser representada por uma matriz. Como
vai de
para
, essa matriz será de tamanho
.
A matriz de
é formada colocando as imagens dos vetores base como colunas. Ou seja:
Passo 3
Vamos substituir as imagens dos vetores base na matriz:
Isso significa que cada coluna da matriz
é uma das imagens dadas:
Passo 4
Agora que temos a matriz de
, podemos escrever a transformação linear de forma explícita. Se
é um vetor em
, então:
Substituindo as imagens:
Passo 5
Fazendo as contas:
Simplificando:
Resposta
A transformação linear desejada é:
Ou, em forma de matriz: