Determine se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
;
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear que nos ajudam a verificar se um conjunto é realmente um subespaço. Precisamos checar três coisas principais: se o vetor zero está em
, se
é fechado sob adição de vetores e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição de
:
Como a condição é satisfeita,
está em
. Então, o primeiro critério está ok!
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição de vetores. Isso quer dizer que, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Vamos supor que temos dois vetores em
:
Sabemos que:
Somando os vetores:
Vamos verificar a condição de
:
Como a soma também satisfaz
, o conjunto
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, precisamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos qualquer vetor de
por um número real, o resultado também deve estar em
.
Pegamos um vetor qualquer em
:
E multiplicamos por um escalar
:
Vamos verificar a condição:
Então,
também satisfaz
, garantindo que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.