Determine se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de R^3;
W=(x, y, z) in R^3 / x+y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear que nos ajudam a verificar se um conjunto é realmente um subespaço. Precisamos checar três coisas principais: se o vetor zero está em , se é fechado sob adição de vetores e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em x + y = 0 + 0 = 0 . O vetor zero em é . Substituindo na condição de :
Como a condição é satisfeita, está em . Então, o primeiro critério está ok!

Passo 3

Agora, vamos checar se u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) é fechado sob adição de vetores. Isso quer dizer que, se pegarmos dois vetores quaisquer em x1 + y1 = 0 e x2 + y2 = 0 , a soma deles também deve estar em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) .
Vamos supor que temos dois vetores em (x1 + x2) + (y1 + y2) = (x1 + y1) + (x2 + y2) = 0 + 0 = 0 :
Sabemos que:
Somando os vetores:
Vamos verificar a condição de :
Como a soma também satisfaz , o conjunto é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, precisamos verificar se u = (x, y, z) com x + y = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos qualquer vetor de au = (ax, ay, az) por um número real, o resultado também deve estar em ax + ay = a(x + y) = a cdot 0 = 0 .
Pegamos um vetor qualquer em :
E multiplicamos por um escalar :
Vamos verificar a condição:
Então, também satisfaz , garantindo que é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

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