Para cada operador linear abaixo, calcule o polinômio característico, polinômio minimal, os autovalores e os autovetores, encontre base e a dimensão de cada autoespaço. Em seguida, determine se o operador é diagonalizável. Em caso afirmativo, exiba uma base formada por autovetores e escreva a matriz desse operador nessa base.
tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos várias propriedades de um operador linear
definido por
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como polinômio característico, polinômio minimal, autovalores, autovetores, autoespaços e diagonalização. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz associada ao operador
. Como
, a matriz será:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o polinômio característico de
. O polinômio característico é dado por
, onde
é a matriz identidade e
é um escalar. Então:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então, o polinômio característico é:
Passo 4
Vamos agora encontrar os autovalores, ou seja, as raízes do polinômio característico
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada
, resolvemos
.
Para
:
Resolvendo o sistema:
Escolhendo
, temos:
Para
:
Resolvendo o sistema:
Escolhendo
, temos:
Passo 6
Agora, vamos determinar os autoespaços e suas dimensões. Cada autovetor gera um autoespaço.
Para
:
Para
:
Passo 7
Vamos verificar se o operador
é diagonalizável. Um operador é diagonalizável se houver uma base composta por autovetores linearmente independentes.
Como temos dois autovalores distintos
e
e cada um tem um autovetor correspondente, eles são linearmente independentes. Portanto,
é diagonalizável.
Passo 8
Agora, vamos formar a base de autovetores e escrever a matriz de
nessa base.
A base formada pelos autovetores é:
Na base
, a matriz de
é uma matriz diagonal cujos elementos são os autovalores correspondentes:
Resposta
O operador
é diagonalizável. Uma base formada por autovetores é
e a matriz de
nessa base é: