Para cada operador linear abaixo, calcule o polinômio característico, polinômio minimal, os autovalores e os autovetores, encontre base e a dimensão de cada autoespaço. Em seguida, determine se o operador é diagonalizável. Em caso afirmativo, exiba uma base formada por autovetores e escreva a matriz desse operador nessa base.
T: R^2 R^2 tal que T(x, y)=(x+y, 2 x+y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos várias propriedades de um operador linear definido por . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como polinômio característico, polinômio minimal, autovalores, autovetores, autoespaços e diagonalização. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz associada ao operador A = 1 & 1 2 & 1 . Como , a matriz será:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico de A - lambda I = 1 - lambda & 1 2 & 1 - lambda . O polinômio característico é dado por det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (2)(1) = (1 - lambda)^2 - 2 , onde (1 - lambda)^2 - 2 = 1 - 2lambda + lambda^2 - 2 = lambda^2 - 2lambda -1 é a matriz identidade e p(lambda) = lambda^2 - 2lambda -1 é um escalar. Então:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então, o polinômio característico é:

Passo 4

Vamos agora encontrar os autovalores, ou seja, as raízes do polinômio característico lambda = 2 pm raiz4 + 42 = 2 pm raiz82 = 2 pm 2raiz22 = 1 pm raiz2 . Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda1 = 1 + raiz2, lambda2 = 1 - raiz2
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada A - lambda1 I = - raiz2 & 1 2 & -raiz2 , resolvemos - raiz2 v1 + v2 = 0 Rightarrow v2 = raiz2 v1 .
Para v1 = 1 raiz2 :
A - lambda2 I = raiz2 & 1 2 & raiz2
Resolvendo o sistema:
raiz2 v1 + v2 = 0 Rightarrow v2 = -raiz2 v1
Escolhendo v2 = 1 - raiz2 , temos:
Para :
Resolvendo o sistema:
Escolhendo , temos:

Passo 6

Agora, vamos determinar os autoespaços e suas dimensões. Cada autovetor gera um autoespaço.
Para Elambda1 = span 1 raiz2 , dim(Elambda1) = 1 :
Elambda2 = span 1 -raiz2 , dim(Elambda2) = 1
Para :

Passo 7

Vamos verificar se o operador é diagonalizável. Um operador é diagonalizável se houver uma base composta por autovetores linearmente independentes.
Como temos dois autovalores distintos e e cada um tem um autovetor correspondente, eles são linearmente independentes. Portanto, é diagonalizável.

Passo 8

Agora, vamos formar a base de autovetores e escrever a matriz de B = 1 raiz2 , 1 -raiz2 nessa base.
A base formada pelos autovetores é:
AB = 1 + raiz2 & 0 0 & 1 - raiz2
Na base , a matriz de é uma matriz diagonal cujos elementos são os autovalores correspondentes:

Resposta

O operador 1 raiz2 é diagonalizável. Uma base formada por autovetores é 1 -raiz2 e a matriz de 1 + raiz2 & 0 0 & 1 - raiz2 nessa base é:

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