Para cada par de inteiros a e b, determine m d c(a, b) e encontre inteiros r e s, tais que m d c(a, b)=r a+s b onde a=-23, b=14.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo divisor comum (mdc) de dois números inteiros, que no caso são a = -23 e b = 14. Além disso, precisamos achar dois números inteiros r e s que satisfaçam a equação mdc(a, b) = r cdot a + s cdot b. Para isso, vamos usar o Algoritmo de Euclides para encontrar o mdc e depois o Algoritmo Extendido de Euclides para achar esses valores de r e s.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o mdc de -23 e 14. O mdc é sempre positivo, então podemos considerar 23 e 14. O Algoritmo de Euclides funciona dividindo o maior número pelo menor e repetindo esse processo com o resto até chegar a zero. O último resto diferente de zero será o mdc.
Vamos lá:
23 = 14 times 1 + 9
14 = 9 times 1 + 5
9 = 5 times 1 + 4
5 = 4 times 1 + 1
4 = 1 times 4 + 0
Quando o resto chega a zero, o último resto diferente de zero é 1. Então, mdc(-23, 14) = 1.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de r e s que satisfazem a equação 1 = r cdot (-23) + s cdot 14. Para isso, usamos o Algoritmo Extendido de Euclides, que além de encontrar o mdc, também encontra esses coeficientes.
Vamos refazer os cálculos do Algoritmo de Euclides, mas dessa vez, vamos escrever os restos em função de 23 e 14:
  1. 23 = 14 times 1 + 9 Rightarrow 9 = 23 - 14 times 1
  2. 14 = 9 times 1 + 5 Rightarrow 5 = 14 - 9 times 1
  3. 9 = 5 times 1 + 4 Rightarrow 4 = 9 - 5 times 1
  4. 5 = 4 times 1 + 1 Rightarrow 1 = 5 - 4 times 1
Agora, vamos substituir de trás para frente:
  • Substituindo 4 na última equação:
    1 = 5 - (9 - 5 times 1) times 1 = 5 - 9 + 5 = 2 times 5 - 9
  • Substituindo 5:
    1 = 2 times (14 - 9 times 1) - 9 = 2 times 14 - 2 times 9 - 9 = 2 times 14 - 3 times 9
  • Substituindo 9:
    1 = 2 times 14 - 3 times (23 - 14 times 1) = 2 times 14 - 3 times 23 + 3 times 14 = 5 times 14 - 3 times 23
Então, os valores são r = -3 e s = 5.

Resposta

O máximo divisor comum é 1, e os inteiros que satisfazem a equação são r = -3 e s = 5.

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