Para cada par de inteiros
e
, determine
e encontre inteiros
e
, tais que
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo divisor comum (mdc) de dois números inteiros, que no caso são
e
. Além disso, precisamos achar dois números inteiros
e
que satisfaçam a equação
. Para isso, vamos usar o Algoritmo de Euclides para encontrar o mdc e depois o Algoritmo Extendido de Euclides para achar esses valores de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o mdc de
e
. O mdc é sempre positivo, então podemos considerar
e
. O Algoritmo de Euclides funciona dividindo o maior número pelo menor e repetindo esse processo com o resto até chegar a zero. O último resto diferente de zero será o mdc.
Vamos lá:
Quando o resto chega a zero, o último resto diferente de zero é
. Então,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
e
que satisfazem a equação
. Para isso, usamos o Algoritmo Extendido de Euclides, que além de encontrar o mdc, também encontra esses coeficientes.
Vamos refazer os cálculos do Algoritmo de Euclides, mas dessa vez, vamos escrever os restos em função de
e
:
Agora, vamos substituir de trás para frente:
-
Substituindo
na última equação: -
Substituindo
: -
Substituindo
:
Então, os valores são
e
.
Resposta
O máximo divisor comum é
, e os inteiros que satisfazem a equação são
e
.
Exercícios relacionados
Calcule o MDC abaixo usando o algoritmo aprendido em sala de aula e prove usando a definição de MDC:
.
Verifique qual das congruências abaixo tem solução:
.
Faça a decomposição em fatores primos, do inteiro 3685.
Usando a decomposição em fatores primos, determine todos os divisores positivos do inteiro 921.