Para cada par de inteiros e , determine e encontre inteiros e , tais que onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo divisor comum (mdc) de dois números inteiros, que no caso são e . Além disso, precisamos achar dois números inteiros e que satisfaçam a equação . Para isso, vamos usar o Algoritmo de Euclides para encontrar o mdc e depois o Algoritmo Extendido de Euclides para achar esses valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o mdc de e . O mdc é sempre positivo, então podemos considerar e . O Algoritmo de Euclides funciona dividindo o maior número pelo menor e repetindo esse processo com o resto até chegar a zero. O último resto diferente de zero será o mdc.
Vamos lá:
Quando o resto chega a zero, o último resto diferente de zero é . Então, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de e que satisfazem a equação . Para isso, usamos o Algoritmo Extendido de Euclides, que além de encontrar o mdc, também encontra esses coeficientes.
Vamos refazer os cálculos do Algoritmo de Euclides, mas dessa vez, vamos escrever os restos em função de e :
Agora, vamos substituir de trás para frente:
  • Substituindo na última equação:
  • Substituindo :
  • Substituindo :
Então, os valores são e .

Resposta

O máximo divisor comum é , e os inteiros que satisfazem a equação são e .

Exercícios relacionados

Calcule o MDC abaixo usando o algoritmo aprendido em sala de aula e prove usando a definição de MDC: .
Verifique qual das congruências abaixo tem solução: .
Faça a decomposição em fatores primos, do inteiro 3685.
Usando a decomposição em fatores primos, determine todos os divisores positivos do inteiro 921.