Usando a decomposição em fatores primos, determine todos os divisores positivos do inteiro 921.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar todos os divisores positivos do número 921 usando a decomposição em fatores primos. Ou seja, vamos precisar entender como dividir um número em fatores que são números primos (aqueles que só são divisíveis por 1 e por eles mesmos). Essa técnica é super útil na matemática para resolver vários tipos de problemas relacionados a divisores.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor o número 921 em fatores primos. Para isso, começamos tentando dividir 921 pelo menor número primo, que é o 2. Mas 921 é ímpar, então não é divisível por 2. Vamos para o próximo: 3.
Dividindo 921 por 3:
Então, 3 é um fator primo de 921, e o quociente é 307.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se 307 é um número primo. Isso significa que ele não deve ser divisível por nenhum número primo menor que ele, exceto 1 e ele mesmo. Vamos testar os primos até a raiz quadrada de 307 (aproximadamente 17,5).
Testando:
- 307 ÷ 3 ≈ 102,33 → Não divide exatamente.
- 307 ÷ 5 ≈ 61,4 → Não divide exatamente.
- 307 ÷ 7 ≈ 43,86 → Não divide exatamente.
- 307 ÷ 11 ≈ 27,91 → Não divide exatamente.
- 307 ÷ 13 ≈ 23,61 → Não divide exatamente.
- 307 ÷ 17 ≈ 18,06 → Não divide exatamente.
Como não encontramos nenhum divisor, 307 é realmente um número primo.
Passo 4
Então, a decomposição em fatores primos de 921 é:
Passo 5
Agora, para encontrar todos os divisores de 921, usamos os seus fatores primos. Se um número tem a decomposição em fatores primos
, então os divisores são todas as combinações possíveis desses fatores, usando expoentes de 0 até o expoente máximo de cada fator.
No nosso caso:
Passo 6
Vamos listar todas as combinações possíveis dos fatores
e
:
Resposta
Os divisores positivos de 921 são: 1, 3, 307 e 921.
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e
, determine
e encontre inteiros
e
, tais que
onde
.
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