Para cada par de inteiros e , determine e encontre inteiros e , tais que onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo divisor comum (mdc) entre os números 312 e 42. Além disso, temos que encontrar dois números inteiros, chamados de e , que satisfaçam a equação . Para isso, vamos usar o algoritmo de Euclides para encontrar o mdc e depois o algoritmo estendido de Euclides para achar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o mdc de 312 e 42 usando o algoritmo de Euclides. Esse método se baseia na ideia de que o mdc de dois números também divide a diferença deles. A gente divide o número maior pelo menor e continua o processo com o divisor e o resto até o resto ser zero. O último resto diferente de zero será o mdc.

Passo 3

Vamos começar dividindo 312 por 42:
Aqui, . Agora, substituímos:

Passo 4

Agora, vamos dividir 42 por 18:
Ou seja, . Agora, temos:

Passo 5

Em seguida, dividimos 18 por 6:
Como o resto é zero, o último divisor não nulo é o mdc. Portanto:

Passo 6

Agora que temos o mdc, vamos encontrar e tais que . Para isso, usamos o algoritmo estendido de Euclides, que além de encontrar o mdc, também nos dá os coeficientes e .

Passo 7

Vamos reverter os passos que fizemos no algoritmo de Euclides para expressar o mdc como combinação linear de 312 e 42.
Começamos com:
Mas sabemos que:
E substituímos pela expressão encontrada anteriormente:

Passo 8

Substituindo na equação de :
Simplificando:

Passo 9

Portanto, encontramos os valores de e :

Resposta

O máximo divisor comum de 312 e 42 é 6, e os inteiros que satisfazem são e .

Exercícios relacionados

Calcule o MDC abaixo usando o algoritmo aprendido em sala de aula e prove usando a definição de MDC: .
Verifique qual das congruências abaixo tem solução: .
Sejam e inteiros. Mostre que se é divisível simultaneamente por 8 e 9 , então é divisível por 72.
Determine: .