Para cada par de inteiros
e
, determine
e encontre inteiros
e
, tais que
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo divisor comum (mdc) entre os números 312 e 42. Além disso, temos que encontrar dois números inteiros, chamados de
e
, que satisfaçam a equação
. Para isso, vamos usar o algoritmo de Euclides para encontrar o mdc e depois o algoritmo estendido de Euclides para achar os valores de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o mdc de 312 e 42 usando o algoritmo de Euclides. Esse método se baseia na ideia de que o mdc de dois números também divide a diferença deles. A gente divide o número maior pelo menor e continua o processo com o divisor e o resto até o resto ser zero. O último resto diferente de zero será o mdc.
Passo 3
Vamos começar dividindo 312 por 42:
Aqui,
. Agora, substituímos:
Passo 4
Agora, vamos dividir 42 por 18:
Ou seja,
. Agora, temos:
Passo 5
Em seguida, dividimos 18 por 6:
Como o resto é zero, o último divisor não nulo é o mdc. Portanto:
Passo 6
Agora que temos o mdc, vamos encontrar
e
tais que
. Para isso, usamos o algoritmo estendido de Euclides, que além de encontrar o mdc, também nos dá os coeficientes
e
.
Passo 7
Vamos reverter os passos que fizemos no algoritmo de Euclides para expressar o mdc como combinação linear de 312 e 42.
Começamos com:
Mas sabemos que:
E substituímos
pela expressão encontrada anteriormente:
Passo 8
Substituindo
na equação de
:
Simplificando:
Passo 9
Portanto, encontramos os valores de
e
:
Resposta
O máximo divisor comum de 312 e 42 é 6, e os inteiros que satisfazem
são
e
.
Exercícios relacionados
Calcule o MDC abaixo usando o algoritmo aprendido em sala de aula e prove usando a definição de MDC:
.
Verifique qual das congruências abaixo tem solução:
.
Sejam
e
inteiros. Mostre que se
é divisível simultaneamente por 8 e 9 , então
é divisível por 72.
Determine:
.