Sejam
e
inteiros. Mostre que se
é divisível simultaneamente por 8 e 9 , então
é divisível por 72.
Passo 1
Então, a gente tem um número inteiro
que é divisível por 8 e também por 9. O que isso significa? Basicamente, se
é divisível por 8, ele pode ser dividido por 8 sem deixar resto. O mesmo vale para 9. A matéria que vamos usar aqui é a Teoria dos Números, especialmente sobre divisibilidade e mínimo múltiplo comum (MMC). Vamos precisar entender como esses conceitos se relacionam para mostrar que
também é divisível por 72.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é divisibilidade. Se dizemos que
é divisível por 8, significa que existe um número inteiro
tal que:
E similarmente, como
também é divisível por 9, existe um número inteiro
tal que:
Ou seja,
pode ser escrito tanto como múltiplo de 8 quanto como múltiplo de 9.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o mínimo múltiplo comum (MMC). O MMC de dois números é o menor número que é múltiplo de ambos. No nosso caso, queremos encontrar o MMC de 8 e 9. Para isso, primeiro vamos ver os fatores primos de cada número:
Como não há fatores primos em comum entre 8 e 9 (ou seja, eles são coprimos), o MMC deles é simplesmente o produto dos dois números.
Passo 4
Calculando o MMC:
Isso significa que 72 é o menor número que é múltiplo tanto de 8 quanto de 9.
Passo 5
Como
é divisível por 8 e por 9, e 72 é o MMC de 8 e 9, isso implica que
também é múltiplo de 72. Portanto, existe um número inteiro
tal que:
O que mostra que
é divisível por 72.
Resposta
Se um número inteiro
é divisível simultaneamente por 8 e por 9, então
é divisível por 72.
Exercícios relacionados
Para cada par de inteiros
e
, determine
e encontre inteiros
e
, tais que
onde
.
Calcule o MDC abaixo usando o algoritmo aprendido em sala de aula e prove usando a definição de MDC:
.
Determine:
.
Faça a decomposição em fatores primos, do inteiro 50653.