Sejam a, b e c inteiros. Mostre que se a é divisível simultaneamente por 8 e 9 , então a é divisível por 72.

Passo 1

Então, a gente tem um número inteiro que é divisível por 8 e também por 9. O que isso significa? Basicamente, se é divisível por 8, ele pode ser dividido por 8 sem deixar resto. O mesmo vale para 9. A matéria que vamos usar aqui é a Teoria dos Números, especialmente sobre divisibilidade e mínimo múltiplo comum (MMC). Vamos precisar entender como esses conceitos se relacionam para mostrar que também é divisível por 72.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é divisibilidade. Se dizemos que a = 8 times k é divisível por 8, significa que existe um número inteiro a = 9 times m tal que:
E similarmente, como também é divisível por 9, existe um número inteiro tal que:
Ou seja, pode ser escrito tanto como múltiplo de 8 quanto como múltiplo de 9.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o mínimo múltiplo comum (MMC). O MMC de dois números é o menor número que é múltiplo de ambos. No nosso caso, queremos encontrar o MMC de 8 e 9. Para isso, primeiro vamos ver os fatores primos de cada número:
8 = 2^3
9 = 3^2
Como não há fatores primos em comum entre 8 e 9 (ou seja, eles são coprimos), o MMC deles é simplesmente o produto dos dois números.

Passo 4

Calculando o MMC:
MMC(8, 9) = 8 times 9 = 72
Isso significa que 72 é o menor número que é múltiplo tanto de 8 quanto de 9.

Passo 5

Como a = 72 times n é divisível por 8 e por 9, e 72 é o MMC de 8 e 9, isso implica que também é múltiplo de 72. Portanto, existe um número inteiro tal que:
O que mostra que é divisível por 72.

Resposta

Se um número inteiro é divisível simultaneamente por 8 e por 9, então é divisível por 72.

Exercícios relacionados