Verifique qual das congruências abaixo tem solução:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem a seguinte congruência:
. Nosso objetivo aqui é verificar se essa congruência tem solução, ou seja, se existe algum número inteiro
que, quando multiplicado por 27 e subtraído de 45, resulta em um múltiplo de 18.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre congruências lineares e o máximo divisor comum (MDC). A gente vai utilizar esses conceitos para verificar se a congruência tem solução e, se tiver, quantas soluções existem.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a congruência para facilitar a análise. A congruência dada é:
Vamos reduzir os coeficientes pelo módulo 18 para simplificar:
Então, a congruência simplificada fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular o máximo divisor comum (MDC) entre o coeficiente de
e o módulo. Ou seja, queremos encontrar o MDC de 9 e 18:
Passo 4
Para que a congruência
tenha solução, o MDC entre o coeficiente de
(que é 9) e o módulo (18) deve dividir o termo constante (9). Vamos verificar:
Como 9 divide 9 exatamente, a congruência tem solução.
Passo 5
Além de saber que a congruência tem solução, podemos encontrar quantas soluções existem. A regra geral é que se o MDC
de
e
divide
na congruência
, então existem exatamente
soluções distintas módulo
.
No nosso caso, temos:
Portanto, existem 9 soluções distintas para a congruência
.
Resposta
A congruência
tem solução e, especificamente, possui 9 soluções distintas no conjunto dos números inteiros.
Exercícios relacionados
Verifique qual das congruências abaixo tem solução:
.
Usando a decomposição em fatores primos, determine
e
onde
e
.
Calcule o MDC abaixo usando o algoritmo aprendido em sala de aula e prove usando a definição de MDC:
.
Para cada par de inteiros
e
, determine
e encontre inteiros
e
, tais que
onde
.