Verifique qual das congruências abaixo tem solução: .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem a seguinte congruência: . Nosso objetivo aqui é verificar se essa congruência tem solução, ou seja, se existe algum número inteiro que, quando multiplicado por 27 e subtraído de 45, resulta em um múltiplo de 18.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre congruências lineares e o máximo divisor comum (MDC). A gente vai utilizar esses conceitos para verificar se a congruência tem solução e, se tiver, quantas soluções existem.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a congruência para facilitar a análise. A congruência dada é:
Vamos reduzir os coeficientes pelo módulo 18 para simplificar:
Então, a congruência simplificada fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o máximo divisor comum (MDC) entre o coeficiente de e o módulo. Ou seja, queremos encontrar o MDC de 9 e 18:

Passo 4

Para que a congruência tenha solução, o MDC entre o coeficiente de (que é 9) e o módulo (18) deve dividir o termo constante (9). Vamos verificar:
Como 9 divide 9 exatamente, a congruência tem solução.

Passo 5

Além de saber que a congruência tem solução, podemos encontrar quantas soluções existem. A regra geral é que se o MDC de e divide na congruência , então existem exatamente soluções distintas módulo .
No nosso caso, temos:
Portanto, existem 9 soluções distintas para a congruência .

Resposta

A congruência tem solução e, especificamente, possui 9 soluções distintas no conjunto dos números inteiros.

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Verifique qual das congruências abaixo tem solução: .
Usando a decomposição em fatores primos, determine e onde e .
Calcule o MDC abaixo usando o algoritmo aprendido em sala de aula e prove usando a definição de MDC: .
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