Para cada par de inteiros
e
, determine
e encontre inteiros
e
, tais que
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o máximo divisor comum (mdc) de dois números inteiros, no caso
e
. Além disso, precisamos encontrar dois números inteiros
e
que satisfaçam a equação
. Para isso, vamos usar o algoritmo de Euclides e depois o algoritmo estendido de Euclides, que nos ajuda a encontrar esses coeficientes
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o mdc de 8 e 76 usando o algoritmo de Euclides. Esse algoritmo funciona dividindo o número maior pelo menor e repetindo o processo com os restos até chegar a um resto zero. O último resto diferente de zero será o mdc.
Passo 3
Vamos começar dividindo 76 por 8:
Aqui, 76 dividido por 8 dá 9 com resto 4. Então, agora precisamos encontrar o mdc de 8 e 4.
Passo 4
Agora dividimos 8 por 4:
O resto é 0, então o processo para. O último resto diferente de zero foi 4, então:
Passo 5
Agora que sabemos que o mdc é 4, vamos encontrar os coeficientes
e
tais que:
Para isso, usamos o algoritmo estendido de Euclides, que nos ajuda a expressar o mdc como uma combinação linear dos números originais.
Passo 6
Vamos reescrever as operações que fizemos no algoritmo de Euclides:
-
\quad (equação 1) -
\quad (equação 2)
Agora, da equação 1, podemos isolar o resto:
Passo 7
Substituímos esse valor de 4 na equação onde queremos expressar o mdc:
Aqui, já temos a expressão do mdc como uma combinação de 8 e 76. Então, podemos identificar que:
Portanto:
Resposta
O máximo divisor comum de 8 e 76 é
, e os inteiros que satisfazem a equação
são
e
.
Exercícios relacionados
Verifique qual das congruências abaixo tem solução:
.
Usando a decomposição em fatores primos, determine
e
onde
e
.
Calcule o MMC e use a condição (i) e (ii) da definição de MMC para justificar a resposta:
.
Faça a decomposição em fatores primos, do inteiro 13.