Para cada par de inteiros a e b, determine m d c(a, b) e encontre inteiros r e s, tais que m d c(a, b)=r a+s b onde a=8, b=76.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o máximo divisor comum (mdc) de dois números inteiros, no caso a = 8 e b = 76. Além disso, precisamos encontrar dois números inteiros r e s que satisfaçam a equação mdc(a, b) = r cdot a + s cdot b. Para isso, vamos usar o algoritmo de Euclides e depois o algoritmo estendido de Euclides, que nos ajuda a encontrar esses coeficientes r e s.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o mdc de 8 e 76 usando o algoritmo de Euclides. Esse algoritmo funciona dividindo o número maior pelo menor e repetindo o processo com os restos até chegar a um resto zero. O último resto diferente de zero será o mdc.

Passo 3

Vamos começar dividindo 76 por 8:
76 = 8 times 9 + 4
Aqui, 76 dividido por 8 dá 9 com resto 4. Então, agora precisamos encontrar o mdc de 8 e 4.

Passo 4

Agora dividimos 8 por 4:
8 = 4 times 2 + 0
O resto é 0, então o processo para. O último resto diferente de zero foi 4, então:
mdc(8, 76) = 4

Passo 5

Agora que sabemos que o mdc é 4, vamos encontrar os coeficientes r e s tais que:
4 = r times 8 + s times 76
Para isso, usamos o algoritmo estendido de Euclides, que nos ajuda a expressar o mdc como uma combinação linear dos números originais.

Passo 6

Vamos reescrever as operações que fizemos no algoritmo de Euclides:
  1. 76 = 8 times 9 + 4 \quad (equação 1)
  2. 8 = 4 times 2 + 0 \quad (equação 2)
Agora, da equação 1, podemos isolar o resto:
4 = 76 - 8 times 9

Passo 7

Substituímos esse valor de 4 na equação onde queremos expressar o mdc:
4 = 76 - 8 times 9
Aqui, já temos a expressão do mdc como uma combinação de 8 e 76. Então, podemos identificar que:
r = -9 e s = 1
Portanto:
4 = (-9) times 8 + 1 times 76

Resposta

O máximo divisor comum de 8 e 76 é 4, e os inteiros que satisfazem a equação 4 = r times 8 + s times 76 são r = -9 e s = 1.

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