Para cada par de inteiros e , determine e encontre inteiros e , tais que onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o máximo divisor comum (mdc) de dois números inteiros, no caso e . Além disso, precisamos encontrar dois números inteiros e que satisfaçam a equação . Para isso, vamos usar o algoritmo de Euclides e depois o algoritmo estendido de Euclides, que nos ajuda a encontrar esses coeficientes e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o mdc de 8 e 76 usando o algoritmo de Euclides. Esse algoritmo funciona dividindo o número maior pelo menor e repetindo o processo com os restos até chegar a um resto zero. O último resto diferente de zero será o mdc.

Passo 3

Vamos começar dividindo 76 por 8:
Aqui, 76 dividido por 8 dá 9 com resto 4. Então, agora precisamos encontrar o mdc de 8 e 4.

Passo 4

Agora dividimos 8 por 4:
O resto é 0, então o processo para. O último resto diferente de zero foi 4, então:

Passo 5

Agora que sabemos que o mdc é 4, vamos encontrar os coeficientes e tais que:
Para isso, usamos o algoritmo estendido de Euclides, que nos ajuda a expressar o mdc como uma combinação linear dos números originais.

Passo 6

Vamos reescrever as operações que fizemos no algoritmo de Euclides:
  1. \quad (equação 1)
  2. \quad (equação 2)
Agora, da equação 1, podemos isolar o resto:

Passo 7

Substituímos esse valor de 4 na equação onde queremos expressar o mdc:
Aqui, já temos a expressão do mdc como uma combinação de 8 e 76. Então, podemos identificar que:
Portanto:

Resposta

O máximo divisor comum de 8 e 76 é , e os inteiros que satisfazem a equação são e .

Exercícios relacionados

Verifique qual das congruências abaixo tem solução: .
Usando a decomposição em fatores primos, determine e onde e .
Calcule o MMC e use a condição (i) e (ii) da definição de MMC para justificar a resposta: .
Faça a decomposição em fatores primos, do inteiro 13.