Calcule o MMC e use a condição (i) e (ii) da definição de MMC para justificar a resposta:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o MMC (Mínimo Múltiplo Comum) de 14 e -33 e, além disso, justificar a resposta usando as condições (i) e (ii) da definição de MMC. Para isso, vamos precisar entender o que é MMC e como encontrá-lo. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, é importante saber que o MMC de dois números é o menor número que é múltiplo de ambos. Também, vale lembrar que o MMC é sempre um número positivo, mesmo que um dos números seja negativo. Então, vamos considerar os valores absolutos: 14 e 33.
Passo 3
Vamos encontrar os múltiplos de 14 e de 33 até encontrar o menor múltiplo comum.
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Múltiplos de 14: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, 154, 168, 182, 196, 210, 224, 238, 252, 266, 280, 294, 308, 322, 336, 350, 364, 378, 392, 406, 420, 434, 448, 462, …
-
Múltiplos de 33: 33, 66, 99, 132, 165, 198, 231, 264, 297, 330, 363, 396, 429, 462, …
O primeiro múltiplo que aparece nas duas listas é 462. Portanto, o MMC de 14 e 33 é 462.
Passo 4
Outra maneira de encontrar o MMC é utilizando a fatoração em primos. Vamos fatorar cada número:
- 14: 2 × 7
- 33: 3 �� 11
O MMC é o produto de todos os fatores primos envolvidos, cada um elevado à maior potência que aparece nas fatorações:
Passo 5
Agora, vamos justificar a resposta usando as condições (i) e (ii) da definição de MMC:
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Condição (i): O MMC é múltiplo de cada um dos números.
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, que é um número inteiro. -
, que também é um número inteiro.
Portanto, 462 é múltiplo de 14 e de -33. -
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Condição (ii): Todo múltiplo comum de 14 e -33 é múltiplo do MMC.Seja um número qualquer que seja múltiplo de 14 e de -33. Esse número pode ser escrito como 14 × k e também como -33 × m, onde k e m são inteiros. Como 462 é o menor número que satisfaz essa condição, qualquer múltiplo comum maior será múltiplo de 462.
Resposta
O MMC de 14 e -33 é 462, e ele satisfaz as condições (i) e (ii) da definição de MMC.
Exercícios relacionados
Para cada par de inteiros
e
, determine
e encontre inteiros
e
, tais que
onde
.
Verifique qual das congruências abaixo tem solução:
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Faça a decomposição em fatores primos, do inteiro 13.
Determine o número de divisores positivos do inteiro 918.