Usando a decomposição em fatores primos, determine e onde e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) dos números 108 e 96. Para isso, vamos utilizar a decomposição em fatores primos, que é uma técnica da matemática que quebra um número em seus fatores primos, ou seja, números primos que multiplicados dão o número original.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor o número 108 em fatores primos. Começamos dividindo por 2, que é o menor número primo:
Continuamos dividindo 54 por 2:
Agora, 27 não é mais divisível por 2, então vamos para o próximo número primo, que é o 3:
Continuamos dividindo 9 por 3:
E finalmente:
Então, a decomposição em fatores primos de 108 é:

Passo 3

Agora, vamos decompor o número 96 em fatores primos. Começamos novamente com 2:
Continuamos dividindo 48 por 2:
Mais uma vez:
E mais uma vez:
E finalmente:
Agora dividimos 3 por 3:
Então, a decomposição em fatores primos de 96 é:

Passo 4

Com as decomposições em fatores primos feitas, podemos encontrar o MDC e o MMC.
Para o MDC, a gente pega os fatores primos que são comuns aos dois números e escolhe o menor expoente de cada um. No caso:
  • O fator 2 aparece como em 108 e em 96. O menor expoente é 2.
  • O fator 3 aparece como em 108 e em 96. O menor expoente é 1.
Então, o MDC é:
Para o MMC, a gente pega todos os fatores primos presentes em qualquer um dos números e escolhe o maior expoente de cada um:
  • O fator 2 aparece como em 108 e em 96. O maior expoente é 5.
  • O fator 3 aparece como em 108 e em 96. O maior expoente é 3.
Então, o MMC é:

Resposta

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Determine a soma dos divisores positivos do inteiro 5.
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Verifique qual das congruências abaixo tem solução: .
Para cada par de inteiros e , determine e encontre inteiros e , tais que onde .