Usando a decomposição em fatores primos, determine mdc(a, b) e mmc(a, b) onde a=108 e b=96.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) dos números 108 e 96. Para isso, vamos utilizar a decomposição em fatores primos, que é uma técnica da matemática que quebra um número em seus fatores primos, ou seja, números primos que multiplicados dão o número original.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor o número 108 em fatores primos. Começamos dividindo por 2, que é o menor número primo:
108 div 2 = 54
Continuamos dividindo 54 por 2:
54 div 2 = 27
Agora, 27 não é mais divisível por 2, então vamos para o próximo número primo, que é o 3:
27 div 3 = 9
Continuamos dividindo 9 por 3:
9 div 3 = 3
E finalmente:
3 div 3 = 1
Então, a decomposição em fatores primos de 108 é:
108 = 2^2 times 3^3

Passo 3

Agora, vamos decompor o número 96 em fatores primos. Começamos novamente com 2:
96 div 2 = 48
Continuamos dividindo 48 por 2:
48 div 2 = 24
Mais uma vez:
24 div 2 = 12
E mais uma vez:
12 div 2 = 6
E finalmente:
6 div 2 = 3
Agora dividimos 3 por 3:
3 div 3 = 1
Então, a decomposição em fatores primos de 96 é:
96 = 2^5 times 3^1

Passo 4

Com as decomposições em fatores primos feitas, podemos encontrar o MDC e o MMC.
Para o MDC, a gente pega os fatores primos que são comuns aos dois números e escolhe o menor expoente de cada um. No caso:
  • O fator 2 aparece como mdc(108, 96) = 2^2 times 3^1 = 4 times 3 = 12 em 108 e mmc(108, 96) = 2^5 times 3^3 = 32 times 27 = 864 em 96. O menor expoente é 2.
  • O fator 3 aparece como em 108 e em 96. O menor expoente é 1.
Então, o MDC é:
Para o MMC, a gente pega todos os fatores primos presentes em qualquer um dos números e escolhe o maior expoente de cada um:
  • O fator 2 aparece como em 108 e em 96. O maior expoente é 5.
  • O fator 3 aparece como em 108 e em 96. O maior expoente é 3.
Então, o MMC é:

Resposta

mdc(108, 96) = 12 e mmc(108, 96) = 864

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