Para cada uma das parábolas, construa a representação gráfica, determine as coordenadas do foco e a equação da reta diretriz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para construir o gráfico da parábola dada pela equação
, e também para encontrar as coordenadas do foco e a equação da reta diretriz dessa parábola. Vamos usar os conceitos de geometria analítica sobre parábolas para resolver isso. Precisaremos entender a forma padrão da equação da parábola, como identificar o foco e a diretriz a partir dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a forma padrão da equação de uma parábola que abre para cima ou para baixo. A forma geral é:
Aqui,
é o vértice da parábola, e
é a distância do vértice ao foco (se
é positivo, a parábola abre para cima; se negativo, para baixo). Comparando com a equação dada
, percebemos que
e
, então o vértice está na origem
. Também temos
, o que nos dá
.
Passo 3
Agora que sabemos que
, isso significa que a parábola abre para baixo (já que
é negativo). O foco da parábola fica a uma distância
unidades abaixo do vértice. Já que o vértice está na origem
, o foco estará em:
Passo 4
A reta diretriz é uma linha que fica a uma distância
unidades oposta ao foco em relação ao vértice. Como o foco está abaixo do vértice, a diretriz ficará acima. Assim, a equação da diretriz é:
Resposta
Então, a parábola
tem o foco nas coordenadas
e a equação da reta diretriz é
.
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(e)
(e)
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(d) .
(d)