Para cada uma das parábolas, construa a representação gráfica, determine as coordenadas do foco e a equação da reta diretriz.
x^2=-4 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para construir o gráfico da parábola dada pela equação , e também para encontrar as coordenadas do foco e a equação da reta diretriz dessa parábola. Vamos usar os conceitos de geometria analítica sobre parábolas para resolver isso. Precisaremos entender a forma padrão da equação da parábola, como identificar o foco e a diretriz a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma padrão da equação de uma parábola que abre para cima ou para baixo. A forma geral é:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
Aqui, é o vértice da parábola, e é a distância do vértice ao foco (se é positivo, a parábola abre para cima; se negativo, para baixo). Comparando com a equação dada , percebemos que e , então o vértice está na origem . Também temos , o que nos dá .

Passo 3

Agora que sabemos que ( h, k + p ) = (0, 0 + (-1)) = (0, -1) , isso significa que a parábola abre para baixo (já que é negativo). O foco da parábola fica a uma distância unidades abaixo do vértice. Já que o vértice está na origem , o foco estará em:

Passo 4

A reta diretriz é uma linha que fica a uma distância y = k - p = 0 - (-1) = 1 unidades oposta ao foco em relação ao vértice. Como o foco está abaixo do vértice, a diretriz ficará acima. Assim, a equação da diretriz é:

Resposta

Então, a parábola tem o foco nas coordenadas e a equação da reta diretriz é .

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