Classificar as cônicas de equações seguintes, calculando as coordenados do centro (ou vértice) e indicando suas posições em relação aos eixos coordenados, QUANDO POSSÍVEL.
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para classificar a cônica dada pela equação
. Isso envolve identificar se é uma parábola, elipse ou hipérbole, encontrar o centro ou vértice dela e ver como ela se posiciona em relação aos eixos coordenados. Para resolver isso, vamos completar o quadrado nas variáveis
e
.
Passo 2
Primeiro, rearranjamos a equação agrupando os termos de
e
:
Passo 3
Vamos completar o quadrado para a parte do
. Fatoramos o coeficiente de
:
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
. Então adicionamos e subtraímos 1 dentro do parêntese:
Simplificando:
Passo 4
Agora, completamos o quadrado para a parte do
. Pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
. Então adicionamos e subtraímos 9:
Simplificando:
Passo 5
Vamos simplificar os termos constantes:
Subtraímos 5 de ambos os lados:
Passo 6
Para deixar a equação na forma padrão, dividimos todos os termos por
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, reorganizamos para ficar mais claro:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole com eje-transversal vertical.
Passo 8
Identificamos os parâmetros:
- Centro da hipérbole:
- Valores de
e : ,
Passo 9
A hipérbole está orientada verticalmente, ou seja, abre para cima e para baixo. Em relação aos eixos coordenados:
- O centro está deslocado 1 unidade para a direita e 3 unidades para baixo do ponto de origem.
- Os vértices estão a
unidades acima e abaixo do centro, nos pontos e .
Resposta
A cônica
é uma hipérbole com centro em
, orientada verticalmente, e seus vértices estão nos pontos
e
.
Exercícios relacionados
Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
Para cada uma das parábolas, construa a representação gráfica, determine as coordenadas do foco e a equação da reta diretriz.
Calcule a distância entre as retas nos seguintes casos.
Seja
o operador linear no
definido por
.
Encontre utilizando
.
Encontre