Classificar as cônicas de equações seguintes, calculando as coordenados do centro (ou vértice) e indicando suas posições em relação aos eixos coordenados, QUANDO POSSÍVEL.
(d) C: 4 x^2-y^2-8 x-6 y-1=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para classificar a cônica dada pela equação . Isso envolve identificar se é uma parábola, elipse ou hipérbole, encontrar o centro ou vértice dela e ver como ela se posiciona em relação aos eixos coordenados. Para resolver isso, vamos completar o quadrado nas variáveis e .

Passo 2

Primeiro, rearranjamos a equação agrupando os termos de 4x^2 - 8x - y^2 - 6y = 1 e :

Passo 3

Vamos completar o quadrado para a parte do 4(x^2 - 2x) - y^2 - 6y = 1 . Fatoramos o coeficiente de 4[(x^2 - 2x + 1) - 1] - y^2 - 6y = 1 :
4(x - 1)^2 - 4 - y^2 - 6y = 1
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: . Então adicionamos e subtraímos 1 dentro do parêntese:
Simplificando:

Passo 4

Agora, completamos o quadrado para a parte do 4(x - 1)^2 - 4 - (y^2 + 6y + 9 - 9) = 1 . Pegamos o coeficiente de 4(x - 1)^2 - 4 - (y + 3)^2 + 9 = 1 , que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: . Então adicionamos e subtraímos 9:
Simplificando:

Passo 5

Vamos simplificar os termos constantes:
4(x - 1)^2 - (y + 3)^2 + 5 = 1
Subtraímos 5 de ambos os lados:
4(x - 1)^2 - (y + 3)^2 = -4

Passo 6

Para deixar a equação na forma padrão, dividimos todos os termos por -4(x - 1)^24 + (y + 3)^24 = 1 :
-(x - 11)^2 + (y + 32)^2 = 1
Simplificando:

Passo 7

Agora, reorganizamos para ficar mais claro:
(y + 3)^24 - (x - 1)^21 = 1
Essa é a forma padrão de uma hipérbole com eje-transversal vertical.

Passo 8

Identificamos os parâmetros:
  • Centro da hipérbole:
  • Valores de e : ,

Passo 9

A hipérbole está orientada verticalmente, ou seja, abre para cima e para baixo. Em relação aos eixos coordenados:
  • O centro está deslocado 1 unidade para a direita e 3 unidades para baixo do ponto de origem.
  • Os vértices estão a unidades acima e abaixo do centro, nos pontos e .

Resposta

A cônica é uma hipérbole com centro em , orientada verticalmente, e seus vértices estão nos pontos e .

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