Curvas cônicas são dadas por um par de equações paramétricas no plano cartesiano. Determine a equação cartesiana reduzida e identifique-as nos seguintes casos:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um par de equações paramétricas que representam uma curva cônica no plano cartesiano. Nosso objetivo é transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana reduzida e identificar que tipo de cônica estamos lidando. As equações que vamos trabalhar são:
Para resolver isso, vamos precisar eliminar o parâmetro
e relacionar
e
diretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos pegar a equação de
e isolar o
. A equação dada é:
Vamos resolver para
:
Passo 3
Agora que temos
em termos de
, vamos substituir esse valor na equação de
:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos simplificar a equação para deixar tudo mais arrumadinho. Primeiro, calculemos o quadrado:
Agora, vamos levar o 3 para o lado esquerdo para deixar a equação igualada a 0:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por 16 para eliminar a fração:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos identificar que tipo de cônica essa equação representa. A equação está na forma:
Essa é a equação padrão de uma parábola que abre para a direita ou para a esquerda. No nosso caso,
, então
. Portanto, a curva é uma parábola que abre para a direita com vértice no ponto
.
Resposta
A equação cartesiana reduzida é
e a curva é uma parábola que abre para a direita.
Exercícios relacionados
Plote os seguintes cilindros em
:
Escolha alguns vetores de
, represente-os no plano cartesiano. Em seguida encontre a imagem de cada um deles em relação ao operador
anterior. Represente essas imagens no plano cartesiano. Observe o que acontece.
Plote o gráfico das seguintes funções:
Para cada uma das parábolas, construa a representação gráfica, determine as coordenadas do foco e a equação da reta diretriz.