Curvas cônicas são dadas por um par de equações paramétricas no plano cartesiano. Determine a equação cartesiana reduzida e identifique-as nos seguintes casos:
(e) lx(theta)=3+t^2 y(theta)=-2+4 t, 0 <= theta<2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um par de equações paramétricas que representam uma curva cônica no plano cartesiano. Nosso objetivo é transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana reduzida e identificar que tipo de cônica estamos lidando. As equações que vamos trabalhar são:
x(t) = 3 + t^2 y(t) = -2 + 4t
Para resolver isso, vamos precisar eliminar o parâmetro e relacionar e diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos pegar a equação de y = -2 + 4t e isolar o y + 2 = 4t t = y + 24 . A equação dada é:
Vamos resolver para :

Passo 3

Agora que temos x = 3 + t^2 em termos de x = 3 + ( y + 24 )^2 , vamos substituir esse valor na equação de :
Substituindo :

Passo 4

Vamos simplificar a equação para deixar tudo mais arrumadinho. Primeiro, calculemos o quadrado:
x = 3 + (y + 2)^216
Agora, vamos levar o 3 para o lado esquerdo para deixar a equação igualada a 0:
x - 3 = (y + 2)^216

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 16 para eliminar a fração:
16(x - 3) = (y + 2)^2
Então, temos:
(y + 2)^2 = 16(x - 3)

Passo 6

Agora, vamos identificar que tipo de cônica essa equação representa. A equação está na forma:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Essa é a equação padrão de uma parábola que abre para a direita ou para a esquerda. No nosso caso, , então . Portanto, a curva é uma parábola que abre para a direita com vértice no ponto .

Resposta

A equação cartesiana reduzida é e a curva é uma parábola que abre para a direita.

Exercícios relacionados

Plote os seguintes cilindros em R^3 :
z=raiz4-x^2
Escolha alguns vetores de R^2, represente-os no plano cartesiano. Em seguida encontre a imagem de cada um deles em relação ao operador S anterior. Represente essas imagens no plano cartesiano. Observe o que acontece.
Plote o gráfico das seguintes funções:
f(x, y)=x^2+7 x
Para cada uma das parábolas, construa a representação gráfica, determine as coordenadas do foco e a equação da reta diretriz.
x^2=-4 y