Seja
uma função, em que
e
são espaços vetoriais de dimensão finita com escalares reais. Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas.
a) Se
é linear, então
preserva somas e produtos por escalar.
a) Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado da questão. Temos uma função
, onde
e
são espaços vetoriais de dimensão finita com escalares reais. A afirmação a) nos pede para determinar se é verdadeira ou falsa que, se
é linear, então
preserva somas e produtos por escalar. Vamos precisar entender o que significa uma função ser linear e o que é preservar somas e produtos por escalar para resolver isso.
Passo 2
Uma função
entre espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais:
- Preservação da soma: Para quaisquer vetores
em , . - Preservação do produto por escalar: Para qualquer vetor
em e qualquer escalar em , .
Essas são precisamente as propriedades que significam que
preserva somas e produtos por escalar.
Passo 3
Agora, analisando a afirmação a): “Se
é linear, então
preserva somas e produtos por escalar.”
Pelas definições que discutimos, se
é linear, por definição, ele preserva a soma de vetores e o produto de um vetor por um escalar. Isso é exatamente o que significa uma transformação linear.
Resposta
A afirmação a) é verdadeira.