Seja T: V W uma função, em que V e W são espaços vetoriais de dimensão finita com escalares reais. Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas.
a) Se T é linear, então T preserva somas e produtos por escalar.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado da questão. Temos uma função , onde e são espaços vetoriais de dimensão finita com escalares reais. A afirmação a) nos pede para determinar se é verdadeira ou falsa que, se é linear, então preserva somas e produtos por escalar. Vamos precisar entender o que significa uma função ser linear e o que é preservar somas e produtos por escalar para resolver isso.

Passo 2

Uma função entre espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais:
  1. Preservação da soma: Para quaisquer vetores em , .
  2. Preservação do produto por escalar: Para qualquer vetor em e qualquer escalar em , .
Essas são precisamente as propriedades que significam que preserva somas e produtos por escalar.

Passo 3

Agora, analisando a afirmação a): “Se é linear, então preserva somas e produtos por escalar.”
Pelas definições que discutimos, se é linear, por definição, ele preserva a soma de vetores e o produto de um vetor por um escalar. Isso é exatamente o que significa uma transformação linear.

Resposta

A afirmação a) é verdadeira.

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