Seja os elementos de matriz de uma matriz nula, mostre que .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz nula, que é uma matriz onde todos os elementos são zero, representada por . O objetivo é mostrar que quando essa matriz atua sobre um vetor , o resultado é o vetor zero. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como matrizes agem sobre vetores e as propriedades da matriz nula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz nula. Uma matriz nula de dimensão tem todos os seus elementos iguais a zero, ou seja:
Isso significa que, independentemente da posição dos elementos, todos são zero.
Passo 3
Agora, consideremos um vetor |xrang<= = x1 x2 vdots xn . Este vetor pode ser representado como:
onde são os componentes do vetor.
Passo 4
Para encontrar o produto da matriz O|xrang<= = 0 & 0 & cdots & 0 0 & 0 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & 0 x1 x2 vdots xn = 0 cdot x1 + 0 cdot x2 + cdots + 0 cdot xn 0 cdot x1 + 0 cdot x2 + cdots + 0 cdot xn vdots 0 cdot x1 + 0 cdot x2 + cdots + 0 cdot xn pelo vetor , fazemos a multiplicação de matriz por vetor. Cada elemento do resultado é a soma dos produtos dos elementos correspondentes das linhas da matriz e das colunas do vetor. No caso da matriz nula:
[
\mathbf{O}|x\rangle =
]
Como todos os produtos são multiplicações por zero, cada componente do vetor resultante será zero.