Seja
uma função, em que
e
são espaços vetoriais de dimensão finita com escalares reais. Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas.
c)
é injetora se e somente se
.
c)
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: "T é injetora se e somente se
". Para resolver isso, vamos usar conceitos de Transformações Lineares, especificamente sobre funções injetoras e o núcleo (ker) de uma transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma transformação ser injetora. Uma função
é injetora se elementos diferentes de
são mapeados para elementos diferentes de
. Em outras palavras, se
então
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é o núcleo de
, denotado por
. O núcleo é o conjunto de todos os vetores em
que são mapeados para o vetor zero em
:
Se
, isso significa que o único vetor que é mapeado para zero é o vetor zero.
Passo 4
Vamos conectar esses conceitos. Se
é injetora, então sempre que
, deve-se ter
. Aplicando isso ao caso onde
, isso implica que
deve ser o vetor zero, ou seja,
.
Passo 5
Por outro lado, se
, então o único vetor que é mapeado para zero é o vetor zero. Isso garante que
não mapeia dois vetores diferentes para o mesmo vetor em
, confirmando que
é injetora.
Resposta
A afirmação é verdadeira.
é injetora se e somente se
.