Seja T: V W uma função, em que V e W são espaços vetoriais de dimensão finita com escalares reais. Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas.
c) T é injetora se e somente se ker T=0.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: "T é injetora se e somente se ". Para resolver isso, vamos usar conceitos de Transformações Lineares, especificamente sobre funções injetoras e o núcleo (ker) de uma transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma transformação ser injetora. Uma função é injetora se elementos diferentes de são mapeados para elementos diferentes de . Em outras palavras, se então .

Passo 3

Agora, vamos ver o que é o núcleo de ker T = v in V mid T(v) = 0 , denotado por . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em :
Se , isso significa que o único vetor que é mapeado para zero é o vetor zero.

Passo 4

Vamos conectar esses conceitos. Se é injetora, então sempre que , deve-se ter . Aplicando isso ao caso onde , isso implica que deve ser o vetor zero, ou seja, .

Passo 5

Por outro lado, se , então o único vetor que é mapeado para zero é o vetor zero. Isso garante que não mapeia dois vetores diferentes para o mesmo vetor em , confirmando que é injetora.

Resposta

A afirmação é verdadeira. é injetora se e somente se .

Exercícios relacionados