Em cada parte, use o produto interno em R^2 dado para calcular |w|, com w=(-1,3).
o produto interno gerado pela matriz
A=[rr 1 & 2 -1 & 3 ]

Passo 1

Beleza, o enunciado está pedindo para calcular a norma de A = 1 & 2 -1 & 3 e a projeção de usando um produto interno específico definido pela matriz
Vamos precisar entender como esse produto interno funciona e como ele nos ajuda a calcular a norma e a projeção do vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como definir um produto interno usando uma matriz. Em lang<= u, v rang<= = u^T A v , se tivermos uma matriz , o produto interno entre dois vetores e é dado por:
Aqui, representa o vetor transposto de , ou seja, transformamos a coluna em linha para multiplicar pela matriz e depois pelo vetor .

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma de |w| = raizlang<= w, w rang<= usando esse produto interno. A norma de um vetor lang<= w, w rang<= = -1 & 3 1 & 2 -1 & 3 -1 3 é dada por:
-1 & 3 1 & 2 -1 & 3 = (-1 times 1) + (3 times -1) e (-1 times 2) + (3 times 3) = (-1 - 3, -2 + 9) = (-4, 7)
Substituindo -4 & 7 -1 3 = (-4 times -1) + (7 times 3) = 4 + 21 = 25 na expressão:
|w| = raiz25 = 5
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo:
  1. Multiplicando por :
  1. Agora, multiplicamos esse resultado pelo vetor :
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a projeção de . A projeção de um vetor em si mesmo, usando o produto interno definido, é simplesmente o vetor escalado pela sua norma ao quadrado. Porém, se quisermos projetar em outro vetor , precisaríamos saber qual é esse .
Como o enunciado não especifica em qual vetor projetar , assumiremos que a projeção é em relação à própria orientação definida pelo produto interno com a matriz . Nesse caso, a projeção de é o próprio escalado pela norma calculada.

Resposta

A norma de é igual a 5.

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