Em cada parte, use o produto interno
dado para calcular
,
.
o produto interno gerado pela matriz
o produto interno gerado pela matriz
Passo 1
Beleza, o enunciado está pedindo para calcular a norma de
e a projeção de
usando um produto interno específico definido pela matriz
Vamos precisar entender como esse produto interno funciona e como ele nos ajuda a calcular a norma e a projeção do vetor
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como definir um produto interno usando uma matriz. Em
, se tivermos uma matriz
, o produto interno entre dois vetores
e
é dado por:
Aqui,
representa o vetor transposto de
, ou seja, transformamos a coluna em linha para multiplicar pela matriz
e depois pelo vetor
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma de
usando esse produto interno. A norma de um vetor
é dada por:
Substituindo
na expressão:
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo:
- Multiplicando
por :
- Agora, multiplicamos esse resultado pelo vetor
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a projeção de
. A projeção de um vetor
em si mesmo, usando o produto interno definido, é simplesmente o vetor
escalado pela sua norma ao quadrado. Porém, se quisermos projetar
em outro vetor
, precisaríamos saber qual é esse
.
Como o enunciado não especifica em qual vetor projetar
, assumiremos que a projeção é em relação à própria orientação definida pelo produto interno com a matriz
. Nesse caso, a projeção de
é o próprio
escalado pela norma calculada.
Resposta
A norma de
é igual a 5.