Uma fábrica possui quatro unidades produtivas
para receber três equipamentos (E1, E2, E3). A operação desses equipamentos gera um fluxo de materiais cujo custo de manuseio depende do local da instalação. Os custos em R$ são apresentados no quadro abaixo:
Equipamentos
Unidades Produtivas
U1
U2
U3
U4
E1
10
4
8
6
E2
6
4
9
10
E3
5
7
8
9
Formule o modelo deste problema de modo a designar os equipamentos para as unidades produtivas objetivando minimizar o custo total de manuseio de materiais.
Equipamentos | Unidades Produtivas | |||
U1 | U2 | U3 | U4 | |
E1 | 10 | 4 | 8 | 6 |
E2 | 6 | 4 | 9 | 10 |
E3 | 5 | 7 | 8 | 9 |
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma fábrica com quatro unidades produtivas (U1, U2, U3, U4) e três equipamentos (E1, E2, E3). Cada equipamento pode ser instalado em qualquer uma das unidades, mas o custo de manuseio dos materiais varia dependendo de onde o equipamento é colocado. Nosso objetivo é atribuir cada equipamento a uma unidade produtiva de forma que o custo total seja o menor possível.
Para resolver isso, vamos usar Programação Linear, uma técnica matemática que ajuda a tomar decisões ótimas em problemas de alocação.
Passo 2
Primeiro, precisamos definir variáveis de decisão que irão representar as escolhas que fazemos. Vamos chamar essas variáveis de
, onde:
-
representa o equipamento (E1, E2, E3). -
representa a unidade produtiva (U1, U2, U3, U4).
Então,
será igual a 1 se o equipamento
for colocado na unidade
, e 0 caso contrário.
Passo 3
Agora, vamos definir a função objetivo, que é o que queremos minimizar. Nesse caso, queremos minimizar o custo total de manuseio dos materiais. A função objetivo será a soma de todos os custos de cada equipamento em cada unidade, multiplicados pelas variáveis de decisão.
Matematicamente, fica assim:
Aqui, cada coeficiente representa o custo de manuseio correspondente ao equipamento e à unidade.
Passo 4
Em seguida, precisamos definir as restrições do problema. Como temos três equipamentos e cada um deve ser colocado em exatamente uma unidade, a restrição principal é que cada equipamento seja alocado a apenas uma unidade.
Para cada equipamento
:
Isso garante que cada equipamento seja colocado em uma única unidade.
Passo 5
Além disso, precisamos garantir que as variáveis de decisão só possam ser 0 ou 1, pois um equipamento não pode ser colocado dois lugares ao mesmo tempo nem dividido entre unidades.
Então, adicionamos as seguintes restrições:
Passo 6
Juntando tudo, nosso modelo de Programação Linear fica assim:
Resposta
Esse é o modelo matemático que representa o problema de atribuição dos equipamentos às unidades produtivas visando minimizar o custo total de manuseio dos materiais.
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.
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Ingrediente | Milho (kg) | Tancagem (kg) | Alfafa (kg) |
|
||
Carboidrato | 90 | 20 | 40 | 200 | ||
Proteínas | 30 | 80 | 60 | 180 | ||
Vitaminas | 10 | 20 | 60 | 150 | ||
Custo (R$) | 0,84 | 0,72 | 0,60 |
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Em cada parte, use o produto interno
dado para calcular
,
.
o produto interno gerado pela matriz
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