Uma fábrica possui quatro unidades produtivas (U 1, U 2, U 3, U 4) para receber três equipamentos (E1, E2, E3). A operação desses equipamentos gera um fluxo de materiais cujo custo de manuseio depende do local da instalação. Os custos em R$ são apresentados no quadro abaixo:
Equipamentos Unidades Produtivas
U1 U2 U3 U4
E1 10 4 8 6
E2 6 4 9 10
E3 5 7 8 9
Formule o modelo deste problema de modo a designar os equipamentos para as unidades produtivas objetivando minimizar o custo total de manuseio de materiais.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma fábrica com quatro unidades produtivas (U1, U2, U3, U4) e três equipamentos (E1, E2, E3). Cada equipamento pode ser instalado em qualquer uma das unidades, mas o custo de manuseio dos materiais varia dependendo de onde o equipamento é colocado. Nosso objetivo é atribuir cada equipamento a uma unidade produtiva de forma que o custo total seja o menor possível.
Para resolver isso, vamos usar Programação Linear, uma técnica matemática que ajuda a tomar decisões ótimas em problemas de alocação.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir variáveis de decisão que irão representar as escolhas que fazemos. Vamos chamar essas variáveis de , onde:
  • representa o equipamento (E1, E2, E3).
  • representa a unidade produtiva (U1, U2, U3, U4).
Então, será igual a 1 se o equipamento for colocado na unidade , e 0 caso contrário.

Passo 3

Agora, vamos definir a função objetivo, que é o que queremos minimizar. Nesse caso, queremos minimizar o custo total de manuseio dos materiais. A função objetivo será a soma de todos os custos de cada equipamento em cada unidade, multiplicados pelas variáveis de decisão.
Matematicamente, fica assim:
Minimizar Z = 10x11 + 4x12 + 8x13 + 6x14 + 6x21 + 4x22 + 9x23 + 10x24 + 5x31 + 7x32 + 8x33 + 9x34
Aqui, cada coeficiente representa o custo de manuseio correspondente ao equipamento e à unidade.

Passo 4

Em seguida, precisamos definir as restrições do problema. Como temos três equipamentos e cada um deve ser colocado em exatamente uma unidade, a restrição principal é que cada equipamento seja alocado a apenas uma unidade.
Para cada equipamento xi1 + xi2 + xi3 + xi4 = 1 para i = 1, 2, 3 :
Isso garante que cada equipamento seja colocado em uma única unidade.

Passo 5

Além disso, precisamos garantir que as variáveis de decisão só possam ser 0 ou 1, pois um equipamento não pode ser colocado dois lugares ao mesmo tempo nem dividido entre unidades.
Então, adicionamos as seguintes restrições:
xij in 0, 1 para todo i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3, 4

Passo 6

Juntando tudo, nosso modelo de Programação Linear fica assim:
Minimizar & Z = 10x11 + 4x12 + 8x13 + 6x14 & + 6x21 + 4x22 + 9x23 + 10x24 & + 5x31 + 7x32 + 8x33 + 9x34 Sujeito a & x11 + x12 + x13 + x14 = 1 & x21 + x22 + x23 + x24 = 1 & x31 + x32 + x33 + x34 = 1 & xij in 0, 1 forall i, j

Resposta

Esse é o modelo matemático que representa o problema de atribuição dos equipamentos às unidades produtivas visando minimizar o custo total de manuseio dos materiais.

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