Abrão dirige uma propriedade rural familiar, onde cria suíno. Ele quer determinar as quantidades de ração (milho, tancagem e alfafa) que devem ser dadas aos porcos atendendo a um custo mínimo os seguintes requisitos nutricionais:
Ingrediente Milho (kg) Tancagem (kg) Alfafa (kg)
Necessidades
mínimas diária
Carboidrato 90 20 40 200
Proteínas 30 80 60 180
Vitaminas 10 20 60 150
Custo (R$) 0,84 0,72 0,60
Formule um modelo de PL para este problema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O Abrão quer descobrir quantos quilos de milho, tancagem e alfafa ele precisa dar pros porcos dele, gastando o mínimo possível. A gente vai usar Programação Linear (PL) pra isso. Basicamente, vamos definir variáveis para cada tipo de ração, montar uma função que representa o custo total e criar algumas restrições que garantam que os porcos recebam os nutrientes que precisam.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis que representam as quantidades de cada ingrediente:
  • = quantidade de milho (em kg)
  • = quantidade de tancagem (em kg)
  • = quantidade de alfafa (em kg)

Passo 3

Agora, vamos montar a função objetivo, que é o custo total que queremos minimizar. A gente multiplica a quantidade de cada ingrediente pelo custo por kg:
C = 0,84x + 0,72y + 0,60z
Então, nossa função objetivo é minimizar Minimize C = 0,84x + 0,72y + 0,60z :

Passo 4

Vamos criar as restrições para garantir que os porcos recebam os nutrientes mínimos:
  1. Carboidratos:
90x + 20y + 40z >= 200
  1. Proteínas:
30x + 80y + 60z >= 180
  1. Vitaminas:
10x + 20y + 60z >= 150
Essas inequações garantem que os nutrientes mínimos sejam atendidos diariamente.

Passo 5

Além das restrições nutricionais, precisamos garantir que as quantidades de ração não sejam negativas:
x >= 0, y >= 0, z >= 0

Passo 6

Juntando tudo, o modelo de Programação Linear fica assim:
Minimize & C = 0,84x + 0,72y + 0,60z Sujeito a & & 90x + 20y + 40z >= 200 (Carboidratos) & 30x + 80y + 60z >= 180 (Proteínas) & 10x + 20y + 60z >= 150 (Vitaminas) & x >= 0, y >= 0, z >= 0 (Não Negatividade) íã

Resposta

O modelo de Programação Linear para o problema do Abrão é:
Minimize & C = 0,84x + 0,72y + 0,60z Sujeito a & & 90x + 20y + 40z >= 200 (Carboidratos) & 30x + 80y + 60z >= 180 (Proteínas) & 10x + 20y + 60z >= 150 (Vitaminas) & x >= 0, y >= 0, z >= 0 (Não Negatividade) íã
Esse modelo vai ajudar o Abrão a determinar as quantidades ideais de cada tipo de ração para minimizar os custos, garantindo que os porcos recebam todos os nutrientes necessários.

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