Em cada Problema de 11 até 14, achar um fator integrante e resolver a equação dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema é resolver a equação diferencial
. Estamos lidando com equações diferenciais exatas e vamos precisar encontrar um fator integrante para tornar essa equação exata e, assim, facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata:
Aqui, temos:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante.
Passo 3
Vamos procurar um fator integrante que depende apenas de
. Isso porque a equação tem a forma
e, muitas vezes, assume-se que o fator integrante
multiplica toda a equação para torná-la exata.
Sabemos que:
Substituindo os valores que já calculamos:
Então, o fator integrante é
.
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
Com o fator integrante aplicado, a equação agora é exata. Para resolver, encontramos uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Usamos a integração por partes, onde:
Então:
Portanto:
Passo 7
Agora, juntamos tudo para obter a função
:
Simplificando:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é dada por
. Então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
É importante expressar a resposta final de forma que o interessado possa efetivamente utilizar as informações. As principais informações a declarar são:
I. O resultado da medição e sua incerteza. Por exemplo: O comprimento da barra é .
I. O resultado da medição e sua incerteza. Por exemplo: O comprimento da barra é
Determine
.
Em cada um dos Problemas 1 até 12, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine também a solução que a satisfaz.
Em cada um dos Problemas 1 até 12, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine também a solução que a satisfaz.