Em cada Problema de 11 até 14, achar um fator integrante e resolver a equação dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema é resolver a equação diferencial . Estamos lidando com equações diferenciais exatas e vamos precisar encontrar um fator integrante para tornar essa equação exata e, assim, facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata:
Aqui, temos:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante.

Passo 3

Vamos procurar um fator integrante que depende apenas de . Isso porque a equação tem a forma e, muitas vezes, assume-se que o fator integrante multiplica toda a equação para torná-la exata.
Sabemos que:
Substituindo os valores que já calculamos:
Então, o fator integrante é .

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

Com o fator integrante aplicado, a equação agora é exata. Para resolver, encontramos uma função tal que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que:

Passo 6

Integrando em relação a :
Usamos a integração por partes, onde:
Então:
Portanto:

Passo 7

Agora, juntamos tudo para obter a função :
Simplificando:

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é dada por . Então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

Exercícios relacionados

É importante expressar a resposta final de forma que o interessado possa efetivamente utilizar as informações. As principais informações a declarar são:
I. O resultado da medição e sua incerteza. Por exemplo: O comprimento da barra é .
Determine .
Em cada um dos Problemas 1 até 12, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine também a solução que a satisfaz.
Em cada um dos Problemas 1 até 12, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine também a solução que a satisfaz.