Em cada um dos Problemas 1 até 12, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine também a solução que a satisfaz. (x+y) dx - (x-y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial . Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar que tipo de equação é essa e aplicar o método adequado. Vamos juntos descobrir como resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar isolado. A equação dada é:
Podemos rearranjar assim:
Dividindo ambos os lados por :
Agora, isolamos :

Passo 3

Essa equação é uma equação homogênea, porque o lado direito da igualdade pode ser escrito como uma função de . Para resolver esse tipo de equação, usamos a substituição , onde é uma nova variável.
Então, definimos:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar em termos de e . Diferenciando em relação a :

Passo 5

Substituímos e de volta na equação original:
Simplificando, temos:

Passo 6

Agora, isolamos :
Então:

Passo 7

Essa é uma equação separável. Vamos separar as variáveis e :

Passo 8

Agora, integramos ambos os lados:
Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:

Passo 9

Igualando as integrais:
Substituímos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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