Em cada um dos Problemas 1 até 12, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine também a solução que a satisfaz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial
. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar que tipo de equação é essa e aplicar o método adequado. Vamos juntos descobrir como resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar
isolado. A equação dada é:
Podemos rearranjar assim:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, isolamos
:
Passo 3
Essa equação é uma equação homogênea, porque o lado direito da igualdade
pode ser escrito como uma função de
. Para resolver esse tipo de equação, usamos a substituição
, onde
é uma nova variável.
Então, definimos:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
em termos de
e
. Diferenciando
em relação a
:
Passo 5
Substituímos
e
de volta na equação original:
Simplificando, temos:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Então:
Passo 7
Essa é uma equação separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 8
Agora, integramos ambos os lados:
Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Passo 9
Igualando as integrais:
Substituímos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Em cada Problema de 11 até 14, achar um fator integrante e resolver a equação dada.
É importante expressar a resposta final de forma que o interessado possa efetivamente utilizar as informações. As principais informações a declarar são:
I. O resultado da medição e sua incerteza. Por exemplo: O comprimento da barra é .
I. O resultado da medição e sua incerteza. Por exemplo: O comprimento da barra é
Em cada um dos Problemas 1 até 12, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine também a solução que a satisfaz.
Quais das sequências
nos convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente: