Em cada um dos Problemas 1 até 12, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine também a solução que a satisfaz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como equações exatas e, se necessário, fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para identificar melhor os termos. Podemos escrever assim:
Isso ajuda a visualizar os diferentes componentes da equação.
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se
.
Identificando
e
:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos procurar um fator integrante que depende apenas de
.
O fator integrante
pode ser encontrado usando a fórmula:
onde
Calculando
:
Então,
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Agora, a equação se torna exata.
Passo 6
Com a equação exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando em relação a
:
Então, a função
é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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Em cada um dos Problemas 1 até 12, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine também a solução que a satisfaz.
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nos convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente:
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