Em cada um dos Problemas 1 até 12, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine também a solução que a satisfaz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é: . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como equações exatas e, se necessário, fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para identificar melhor os termos. Podemos escrever assim:
Isso ajuda a visualizar os diferentes componentes da equação.

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se .
Identificando e :
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos procurar um fator integrante que depende apenas de .
O fator integrante pode ser encontrado usando a fórmula:
onde
Calculando :
Então,

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Agora, a equação se torna exata.

Passo 6

Com a equação exata, podemos encontrar uma função tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de .

Passo 7

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Integrando em relação a :
Então, a função é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Em cada um dos Problemas 1 até 12, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine também a solução que a satisfaz.
Em cada Problema de 11 até 14, achar um fator integrante e resolver a equação dada.
Quais das sequências nos convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente:
Nos Problemas de 1 até 8 , mostre que a equação dada é homogênea e resolva a equação diferencial: