Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente quer determinar a derivada quinta de
. Isso envolve cálculo de derivadas, especificamente derivadas de funções que envolvem potências e logaritmos. Para resolver, vamos precisar lembrar como derivar funções potenciais e logarítmicas, além de aplicar a regra do produto para derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que precisamos derivar:
. Essa função é um produto de duas partes:
e
. Quando temos um produto de funções, usamos a Regra do Produto para derivar.
Passo 3
A Regra do Produto diz que se
, então a derivada é:
Vamos aplicar isso à nossa função
.
Passo 4
Vamos derivar cada parte separadamente:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Passo 5
Aplicando a Regra do Produto:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a quinta derivada, ou seja, derivar
cinco vezes. Observando a primeira derivada, percebemos que cada derivada aumentará o coeficiente de
e simplificará os termos. Vamos seguir derivando passo a passo.
Passo 7
Segunda Derivada:
Simplificando:
Terceira Derivada:
Simplificando:
Passo 8
Quarta Derivada:
Simplificando:
Quinta Derivada:
Simplificando:
Resposta
A quinta derivada de
é: