Determine d^0/dx^5 (x^8 ln(x)).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente quer determinar a derivada quinta de . Isso envolve cálculo de derivadas, especificamente derivadas de funções que envolvem potências e logaritmos. Para resolver, vamos precisar lembrar como derivar funções potenciais e logarítmicas, além de aplicar a regra do produto para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que precisamos derivar: . Essa função é um produto de duas partes: e . Quando temos um produto de funções, usamos a Regra do Produto para derivar.

Passo 3

A Regra do Produto diz que se , então a derivada é:
Vamos aplicar isso à nossa função .

Passo 4

Vamos derivar cada parte separadamente:
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 5

Aplicando a Regra do Produto:
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a quinta derivada, ou seja, derivar cinco vezes. Observando a primeira derivada, percebemos que cada derivada aumentará o coeficiente de e simplificará os termos. Vamos seguir derivando passo a passo.

Passo 7

Segunda Derivada:
Simplificando:
Terceira Derivada:
Simplificando:

Passo 8

Quarta Derivada:
Simplificando:
Quinta Derivada:
Simplificando:

Resposta

A quinta derivada de é:

Exercícios relacionados