Em cada problema resolva e encontre o intervalo na qual a solução existe.
(b) t(t-4) y' = -y, y(2) = 1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Nosso objetivo é resolver essa equação e descobrir em qual intervalo a solução existe. Para isso, vamos usar o método das equações lineares de primeira ordem, que envolve encontrar um fator integrante para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Dividindo ambos os lados da equação original por , temos:
Então, podemos escrever:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :
Para resolver essa integral, vamos usar frações parciais. Vamos decompor :
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores de :
  • Se :
  • Se :
Então, temos:

Passo 4

Agora, podemos calcular o fator integrante :
Simplificando as logaritmos:
Para simplificar, podemos escrever:

Passo 5

Multiplicamos a equação diferencial original pelo fator integrante :
Como , a equação fica:
Integrando ambos os lados:
onde é a constante de integração. Então, a solução geral é:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante :
Aqui, temos uma complicação porque é uma raiz complexa. Isso sugere que há algo errado ou precisamos reconsiderar o intervalo de validade da solução real.

Passo 7

Analisando a equação original , vemos que os pontos e tornam o denominador zero, o que significa que a solução só é válida em intervalos onde . Como a condição inicial é , que está entre e , o intervalo de existência da solução real é .

Resposta

A solução da equação diferencial é com . Contudo, considerando valores reais e a condição inicial , a solução válida no intervalo é:
E o intervalo onde a solução existe é .

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