Seja a função: h(x)=ll2, & se x>2, 3, & se x=2, (a) lim x 2 h(x) neq 2, x^2 & se x<2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado! A função h(x) = 2, & se x > 2, 3, & se x = 2, x^2, & se x < 2 é definida de forma diferente dependendo do valor de :
Queremos encontrar o limite de quando se aproxima de 2 e verificar se esse limite é diferente de 2. Para resolver isso, vamos lembrar que o limite em um ponto depende dos comportamentos de à esquerda e à direita desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o limite pela esquerda, ou seja, quando limx to 2^- h(x) = limx to 2^- x^2 = 2^2 = 4 se aproxima de 2 vindo de valores menores que 2 ( ).
Nesse caso, quando , a função . Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o limite pela direita, ou seja, quando limx to 2^+ h(x) = 2 se aproxima de 2 vindo de valores maiores que 2 ( ).
Nesse caso, quando , a função . Então:

Passo 4

Para que o limite limx to 2^- h(x) = 4 e limx to 2^+ h(x) = 2 exista, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais. Vamos verificar:
Como , os limites laterais são diferentes. Portanto, o limite geral não existe.

Resposta

O limite de quando se aproxima de 2 não existe, já que os limites pela esquerda e pela direita são diferentes ( ).

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