Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico das funções abaixo no ponto especificado.
z = ln(x - 2y), (3, 1, 0).

Passo 1

Então, temos que encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto . Vamos usar cálculo de derivadas parciais para isso, já que vamos precisar do gradiente da função no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A derivada parcial em relação a é:
E em relação a é:
Essas derivadas nos dão as inclinações do plano tangente nas direções e .

Passo 3

Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto :
Então, o gradiente no ponto é .

Passo 4

Com o gradiente, podemos escrever a equação do plano tangente. A equação geral é:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar a reta normal, usamos o vetor normal ao plano tangente, que é o gradiente . A equação paramétrica da reta normal é:
Onde são as componentes do vetor normal. Então:

Resposta

A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é:

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