Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico das funções abaixo no ponto especificado. .
Passo 1
Então, temos que encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto . Vamos usar cálculo de derivadas parciais para isso, já que vamos precisar do gradiente da função no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A derivada parcial em relação a é:
E em relação a é:
Essas derivadas nos dão as inclinações do plano tangente nas direções e .
Passo 3
Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto :
Então, o gradiente no ponto é .
Passo 4
Com o gradiente, podemos escrever a equação do plano tangente. A equação geral é:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar a reta normal, usamos o vetor normal ao plano tangente, que é o gradiente . A equação paramétrica da reta normal é:
Onde são as componentes do vetor normal. Então:
Resposta
A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é: