Em cada problema resolva e encontre o intervalo na qual a solução existe.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema pede. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar a função
e determinar o intervalo em que essa solução existe. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais de primeira ordem e entender conceitos como separação de variáveis.
Passo 2
Vamos começar reorganizando a equação para facilitar a resolução. Podemos isolar
:
Isso nos mostra que a derivada de
em relação a
depende de
e de
de uma maneira que sugere que podemos separar as variáveis.
Passo 3
A separação de variáveis nos permite colocar todos os termos envolvendo
de um lado e os termos envolvendo
do outro lado. Multiplicamos ambos os lados por
e
:
Agora temos uma equação onde os termos com
estão de um lado e os termos com
estão do outro.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados para encontrar a função
. A integral de
é:
E a integral de
é:
Podemos combinar as constantes de integração em uma só, então temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
Podemos reescrever
como uma nova constante
:
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
:
Então, a equação fica:
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
O intervalo de existência da solução é para
tal que
, ou seja: