Em cada problema resolva e encontre o intervalo na qual a solução existe. .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema pede. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar a função e determinar o intervalo em que essa solução existe. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais de primeira ordem e entender conceitos como separação de variáveis.
Passo 2
Vamos começar reorganizando a equação para facilitar a resolução. Podemos isolar :
Isso nos mostra que a derivada de em relação a depende de e de de uma maneira que sugere que podemos separar as variáveis.
Passo 3
A separação de variáveis nos permite colocar todos os termos envolvendo de um lado e os termos envolvendo do outro lado. Multiplicamos ambos os lados por e :
Agora temos uma equação onde os termos com estão de um lado e os termos com estão do outro.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados para encontrar a função . A integral de é:
E a integral de é:
Podemos combinar as constantes de integração em uma só, então temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
Podemos reescrever como uma nova constante :
Para encontrar a constante , usamos a condição inicial :
Então, a equação fica:
Passo 6
Finalmente, resolvemos para :
Resposta
A solução da equação diferencial é:
O intervalo de existência da solução é para tal que , ou seja: