Encontre a solução de cada PVI

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e algumas condições iniciais. Basicamente, precisamos encontrar uma função que satisfaça a equação
e que também atenda às condições iniciais
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica dessa equação diferencial. Isso nos ajuda a encontrar as soluções gerais da equação. A equação característica é obtida substituindo por , onde é uma constante que vamos determinar. Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas raízes:

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, usemos :
Agora, vamos encontrar para usar a segunda condição:
Aplicando :
Agora temos um sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do problema é

Exercícios relacionados

Reescreva as expressões sem usar o símbolo de valor absoluto:
Determine o valor de de modo que as funções abaixo sejam contínuas.
(a)
Em cada problema resolva e encontre o intervalo na qual a solução existe.
.
Encontre uma fórmula para a função inversa da função .