Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e algumas condições iniciais. Basicamente, precisamos encontrar uma função que satisfaça a equação
e que também atenda às condições iniciais
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica dessa equação diferencial. Isso nos ajuda a encontrar as soluções gerais da equação. A equação característica é obtida substituindo por , onde é uma constante que vamos determinar. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas raízes:
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, usemos :
Agora, vamos encontrar para usar a segunda condição: