Em cada um dos problemas de 11 a 16 , verifique se as funções dadas são soluções da equação diferencial, e determine seu wronskiano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente verificar se as funções , e são soluções da equação diferencial . Depois disso, precisamos calcular o Wronskiano dessas funções. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas e entender o que é um Wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é uma solução da equação.
Calculamos as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
Como a igualdade é verdadeira, é uma solução da equação.
Passo 3
Agora, vamos ver se também é uma solução.
Calculamos as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
A igualdade se mantém, então também é uma solução.
Passo 4
Por fim, vamos verificar .
Calculamos as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
Mais uma vez, a igualdade vale, então é uma solução da equação.
Passo 5
Agora que confirmamos que todas as três funções são soluções, vamos calcular o Wronskiano delas. O Wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a verificar se as funções são linearmente independentes, o que é importante para soluções de equações diferenciais.
Montamos a matriz com as funções e suas derivadas até a segunda ordem: