Em cada um dos problemas de 11 a 16 , verifique se as funções dadas são soluções da equação diferencial, e determine seu wronskiano.
y''' + y' = 0 ; 1, cos(t), sen(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente verificar se as funções , e são soluções da equação diferencial . Depois disso, precisamos calcular o Wronskiano dessas funções. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas e entender o que é um Wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma solução da equação.
Calculamos as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
Como a igualdade é verdadeira, é uma solução da equação.

Passo 3

Agora, vamos ver se também é uma solução.
Calculamos as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
A igualdade se mantém, então também é uma solução.

Passo 4

Por fim, vamos verificar .
Calculamos as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
Mais uma vez, a igualdade vale, então é uma solução da equação.

Passo 5

Agora que confirmamos que todas as três funções são soluções, vamos calcular o Wronskiano delas. O Wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a verificar se as funções são linearmente independentes, o que é importante para soluções de equações diferenciais.
Montamos a matriz com as funções e suas derivadas até a segunda ordem:
Calculamos o determinante dessa matriz:

Resposta

O Wronskiano das funções é .

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